Probabilité et série

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Probabilité et série

Message par ROH2F(x) » 01 mai 2021 09:38

Bonjour,

Souvent les exercices de probabilités sont un bon prétexte pour utiliser le cour sur les séries numériques. Par exemple deux exercices classiques : le taux de panne et la marche aléatoire sur la droite (qui utilise les séries entières aussi).

Pour aller plus loin, je suis à la recherche d'un exercice de probabilités qui en plus de parler de probabilité utilise un résultat de sommation des relations de comparaison ou comparaison série intégrale voir les deux.

J'ai passé quelques heures à faire des recherches mais je crois que la meilleur stratégie c'est quand même de poster sur le forum donc je me permet de vous écrire.

Merci pour votre aide.

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Re: Probabilité et série

Message par Calli » 01 mai 2021 14:02

Bonjour,
Voici une proposition, peut-être pas la meilleure. Il y a une question qui utilise ce que tu demandes (pas de façon super poussée). Elle peut se faire indépendamment du reste si tu n'as pas envie de faire tout l'exercice. C'est la numéro :
SPOILER:
3. Et la 5 utilise aussi un autre truc sur les séries.

NB: La notation $ \wedge $ désigne le minimum.

Soit $ X $ une v.a. de support $\mathbb{N}^*$ telle que : $\forall n\in \mathbb{N}^*, \, \mathbb{P}(X=n) = \frac{1}{\zeta (2)n^2 }$. Soient $(X_{n} )$ une suite de v.a. indépendantes de même loi que $X$, puis $S_{n} := \sum_{k=1}^n X_{k}$. Objectif : on a $\mathbb{E}[X]=\infty $, donc $\frac{S_{n} }{n} \rightarrow \infty $ p.s. d'après la loi forte des grands nombres et on aimerait estimer plus précisément la vitesse de cette divergence.
  1. Soit $Y_{1} ,\dots ,Y_{n}$ une suite de v.a. i.i.d. centrées et dans $L^{4}$. Montrer $\mathbb{E}\!\left[\left(\sum \limits_{k=1} ^{n} Y_{k} \right)^{4} \right] = n \, \mathbb{E}[Y_{1} ^{4} ] + 3n(n-1) \, \mathbb{E}[Y_{1} ^2 ]^2 $.
  2. Soit $m>0$. Posons $S_{n} ^{*} := \sum \limits_{k=1} ^{n} (X_{k} \wedge m)$. Montrer que, pour tout $a>0$, \[\mathbb{P}\!\left( \left| \frac{S_{n} ^{*} }{n} -\mathbb{E}[X\wedge m] \right|^{4} \geqslant a^{4} \right) \leqslant \frac{4m^{4} }{n^2 a^{4}.}\]
  3. Calculer un équivalent de $\mathbb{E}[X \wedge m]$ quand $m\rightarrow \infty $.
  4. Montrer que $\displaystyle \mathbb{P}\!\left( \frac{S_{n} }{n} \leqslant \frac{1}{2} \, \mathbb{E}[X\wedge \sqrt[8]{n}] \right) = O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)$.
  5. Montrer qu'il existe $C>0$ telle que, p.s., $\displaystyle \frac{S_{n} }{n} > C \ln (n)$ à partir d'un certain rang.

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Re: Probabilité et série

Message par ROH2F(x) » 01 mai 2021 16:02

Bonjour Calli,

Merci pour l'exercice.

Pour la 2) c'est bienaimé Chebychev mais il faut supprimer les puissances 4. Ce qu'on peut faire car les évènement sont égaux. Du coup moi j'ai majoré par 2m^2 / a^2 n^2.

Du coup j'obtient un grand O de 1/n^2, ce qui me permet toujours d'appliquer Borel Cantelli.

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Re: Probabilité et série

Message par Calli » 01 mai 2021 16:31

Si je ne fais pas d'erreur, $$\mathbb{V}\!\left( \frac{S_{n} ^{*} }{n} \right) = \frac1{n^2} \mathbb{V}( S_{n} ^{*} ) = \frac1n \mathbb{V}( X\wedge m ) \leqslant \frac{m^2}n$$ donc tu obtiens la majoration $\dfrac{m^2}{na^2}$, ce qui ne convient pas.

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Re: Probabilité et série

Message par ROH2F(x) » 01 mai 2021 17:32

Ah je vois il faut utiliser la question d'avant.

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Re: Probabilité et série

Message par ROH2F(x) » 01 mai 2021 17:33

Avez vous une référence pour cet exercice ?

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Re: Probabilité et série

Message par Calli » 01 mai 2021 18:52

La référence c'est moi :P. C'est moi qui ai créé cet exercice. Si tu as des questions dessus, je peux y répondre.

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