Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
V@J

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 30 mars 2021 11:18

Pour information :
- soit une astuce peut se comprendre et se reproduire, auquel cas il ne s'agit pas d'une astuce, mais de l'application de résultats plus généraux à un cas particulier ;
- soit elle n'est pas reproductible, auquel cas son apport pédagogique est limité, notamment dans une perspective dite « de recherche ».

Toutefois, ces deux exercices sont mignons, même si le premier me semble tout de même nettement plus dur tant que l'on n'a pas d'intuition géométrique de ce qui se passe.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 30 mars 2021 11:35

Juste une remarque en passant :
Une méthode astucieuse = une méthode peu commune

Ainsi à l époque de la construction de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, la méthode pour le faire était astucieuse, aujourd'hui elle est devenue commune car largement diffusée.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 31 mars 2021 11:07

pour l'exo 2

1/ prendre $f=\arctan$, il y aura un problème en $\pi/4$ pour la définition de $g$ qui est censée y être continue

2/ prendre $f(x)=x(x-1)^2$, par TVI, on a $\operatorname{Im} g= \mathbb R$ et alors si l'on considère $g(a)=0$, et $g(b)=1$, on a $a=b$

Donc non dans les deux cas.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 08 avr. 2021 14:37

Bonjour,

Le but d'une question recherche, ce n'est pas que de la résoudre mais aussi, de montrer que l'on est astucieux, en proposant des astuces pour résoudre le probléme.

Ainsi en combinant certaines astuces proposées on peut arriver à résoudre le problème.

Une méthode astucieuse, c'est une méthode sortie du commun (que l'on n'a pas l'habitude de voir).

Le meilleur moyen d'être astucieux c'est de proposer des raisonnements inédits dont on pense être l'auteur.

Bon courage.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 09 mai 2021 14:20

Un sympa trouvé dans le rapport d'oraux ENS 2016
Existe-t-il $n^2$ réels tels que toute matrice obtenue en remplissant un tableau $n\times n$ avec ces réels soit inversible ?
Peut-on alors choisir ces réels dans $[1,2]$ ?
Et je rajoute une fois cela montré (je spoil car je pense que ça donne trop d'indications)
SPOILER:
Montrer que les $n^2$-uplets satisfaisant cette condition sont un ouvert dense de $\mathbb R^{n^2}$.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 10 mai 2021 07:00

Pour $x \in [0,1]$ soit $M(x)$ une matrice de taille $n^{2}$ remplit avec les $n^{2}$ coefficients $1+x^{2^{k}}$ , $1\leq k \leq n^{2}$.

Soit $p \in S_{n^{2}}$ et $M(p,x)$ la matrice obtenue par l'action de $p$ sur $M(x)$.

$\det(M(p,x))$ est polynomial en $x$. Donc il existe un nombre fini de valeurs de $x$ tels que $M(p,x)$ est non inversible, ainsi il existe un nombre fini de valeurs de $x$ tels que $M(p,x)$ est non inversible pour tout $p \in S_{n^{2}}$....
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 10 mai 2021 22:01

Petit Oral de X PC 2020 :

Soient $U$ et $V$ deux matrices orthogonales. On considère $J_{r}=\left(\begin{array}{cc}I_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, p}(R)$ et $M=U J_{r} V$.
a) Préciser les dimensions de $U, V$ et $M$.
b) Calculer rg $(M)$ et expliciter $\operatorname{lm}(M)$.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 10 mai 2021 23:54

Sympa !

On peut le faire plus topologiquement, ce qui amène naturellement à remarquer que l'ensemble des $n^2$-uplets est ouvert (intersection finie des $(det\circ M_p)^{-1}(\mathbb R^*)$ pour tout $p\in S_{n^2}$, où $M_p$ est l'application qui remplit une matrice avec l'ordre donné par la permutation p.)
Pour la densité, cela résulte du fait que $GL_n(\mathbb R)$ est dense dans $M_n(\mathbb R)$ avec un tout petit peu de travail.


Pour ton exo,
$U$ est carrée de taille $n$, $M$ est de taille $n\times p$, $V$ est carrée de taille $p$.
$rg M=rg J_r = r$
$Im M = \{Ux| x= ^t(x_1,\dots,x_n); x_{r+1}=\dots=x_n=0\} $ : le sous-espace de $\mathbb R^n$ engendré par les $r$ premières colonnes de $U$.

Un peu surpris que cet exo tombe a l'X tout de même

edit : typo
Dernière modification par Mourien le 13 mai 2021 11:02, modifié 2 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 11 mai 2021 02:36

Oui c'est surprenant, et il semble avoir été posé par deux fois, c'est le 182, 188 dans le RMS131-2.

voici l'énoncé du 188.

188. Soit $M \in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbf{R}) .$ On suppose que $$M=U \Omega V^{\top}$$ où $U$ et $V$ sont deux matrices orthogonales et $\Omega$ une matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf les $$\Omega_{i, i}, 1 \leq i \leq r$$.
a) Préciser la taille des matrices $U, V$ et $\Omega$.
b) Calculer $$M^{\top} M$$.
c) Déterminer le rang de $M$ et l'image de $M$.


PS: pour ton exo on peut montrer que l'ensemble :

$$
E:=\left\{M \in R^{n \times n}: \exists p \in S_{n^{2}}: \operatorname{det}\left(M(p)\right)=0\right\}
$$

a une mesure de Lebesgue nulle.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 mai 2021 02:47

Salut,

$ $Deux autres pas classique du tout :

Soit $f, g \in C(\mathbb R) $ tel que $f \circ g = id$.
A t on $g \circ f= id$ ?


Déterminer le cardinal de la courbe $x^5+1=y^2$ sur le corps $\mathbb Z/q \mathbb Z$ avec $q=2^{2020} - 69$.
On justifiera sa réponse.

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