Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 mai 2021 18:59

$ $

Soit $q $ un nombre permier, tel que $P\in \mathbb F_q[x] $ et $deg(P) =3$
Trouver une CNS sur $q$ et les coeffs de $P$ pour que $P$ soit une bijection de $\mathbb F_q$ dans lui même.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 mai 2021 09:42

JeanN a écrit :
13 mai 2021 13:55


Attention à bien signaler/justifier que $det(M(p,x))$ permet de définir un polynôme non nul, sinon ça marche moins bien (mettre $1+x$ partout comme coefficient permet de faire la même phrase avec une conclusion un peu fausse) :)
Oui effectivement, j'avais en tête cela mais j'ai oublié de le signaler, merci.

Je propose un autre exercice :

Soit $\left(r_{n}\right)$ une suite strictement croissante de réels positifs, et
$$N(r)=\left|\left\{n \in \mathbb{N} \mid r_{n} \leq r\right\}\right|$$.

Pour $c>0, f:[0, c) \rightarrow \mathbb{R}$ continue par morceaux. On suppose que :
$$N(r) \sim r^{x}$$

Montrer que :
$$
\lim _{r \rightarrow+\infty} \frac{1}{N(r)} \sum_{r_{n} \leq r} f\left(c \frac{r_{n}}{r}\right)=\frac{1}{c^{x}} \int_{0}^{c^{x}} f\left(y^{\frac{1}{x}}\right) d y
$$
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 15 mai 2021 17:09

Mes tentatives :

L'exo d'Oty20 :
SPOILER:
On a $\exists A,B>0, \forall r\ge 0, Ar^x\le N(r)\le Br^x$. (quitte à poser $r_0=0$)

On se donne alors $\forall n\ge 0, 1+B\beta_n^x\le n \le A \alpha_n^x$ avec $\alpha$ et $\beta$ des suites à valeurs entières, de sorte que :
$\forall n\ge 0, \beta_n\le r_{1+N(\beta_n)}\le r_n\le r_{N(\alpha_n)}\le \alpha_n$

On obtient alors l'encadrement suivant, en choisissant pour $\alpha$ et $\beta$ les parties entières naturelles: : $\frac{n-1}{B}\le r_n^x\le (1+\frac nA^{\frac1x})^x=\frac nA C$ avec $C$ une constante.

Je pensais alors utiliser les sommes de Riemann car

$\dfrac 1{N(r)} \displaystyle\sum_{n=0}^{N(r)} f((c^x \frac{r_n^x}{r^x})^{\frac 1x})\longrightarrow \displaystyle\int_0^{c^x} f(y^{\frac 1x}) dy$


si $r_n^x-r_{n-1}^x = o(r^x)$
Cependant, je n'ai pas mieux que :

$r_n^x-r_{n-1}^x\le \frac CA n-\frac{n-2}B =O(n)=O(r^x)$ car $n\le N(r)\le Br^x$ .
L'exo de Contrexemple :
SPOILER:
$P=X^3+aX^2+bX+c\in\mathbb{F}_q[X]$ (on peut se ramener sans problème à $P$ unitaire).
$P(x)=P(y)\iff q|(x-y)[(x^2+xy+y^2)+a(x+y)+b]$

$P$ injectif (donc bijectif) si et seulement si le polynôme en second membre n'a pas de racines en dehors la diagonale, c'est-à-dire ssi :

$\forall x\neq y, x^2+xy+y^2+a(x+y)+b\not=0$

Fixons $y$ et considérons le polynôme en $x$.

S'il s'annule, il est scindé : $x^2+(a+y)x+y^2+ay+b= (x-\alpha)(x-\beta)$

$\alpha+\beta=- a-y$
$y^2+ay+b=\alpha\beta$ en identifiant les coefficients.

Tous les couples $(-y-\alpha-\beta, \alpha\beta+(\alpha+\beta)y)$ pour tous les triplets $(y,\alpha,\beta)$ parcourant $\mathbb F_q^3$ privé de sa diagonale ne peuvent pas convenir pour $(a,b)$.

Cependant, je ne parviens pas à voir dans quels cas cette réunion ne recouvre pas $ \mathbb F_q^2 $...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 15 mai 2021 21:06

Un énoncé posé à l'X en psi (qui me résiste :( )

Soit $\alpha>1$.
Soit $f:[e,+\infty[\to [1,+\infty[$ continue telle que pour tout $a>1$, $\sup \{ \left| \frac{f(\lambda x)}{f(x)} - 1 \right|, \lambda \in [1,a]\} \to 0$ quand $x\to +\infty$.

Montrer que $\int_x^{+\infty} t^{-\alpha} f(t) dt$ existe et en trouver un équivalent simple quand $x\to +\infty$.

La première question consistait à traiter le cas $f=\ln$.
SPOILER:
Il me manque l'existence de l'intégrale, qui d'après mon travail revient à l'existence d'une limite finie pour $\dfrac{f(x)}{x^{\alpha-1}}$ en $+\infty$
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 mai 2021 23:42

Cela me rappelle un theme que j'ai rencontré il y a des mois sur un autre forum, Regularly varying functions, le cas de l'exo est plutôt slowly varying functions, à partir de la page 6 dans cette référence https://www.math.u-szeged.hu/~kevei/tan ... _notes.pdf, le résultat de l'exo est la proposition 7 page 13 il me semble.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 16 mai 2021 00:02

Merci pour la référence : le cours est assez sec mais quand j'aurai résolu l'exo 8.4 de la page 27, ce sera bon :)
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 16 mai 2021 01:15

Désolé j'avais une meilleur référence http://evm.ivic.gob.ve/LibroSoulier.pdf, mais pour une raison obscure elle est plus accessible. C'est le mieux que j'ai pu trouver en 30 min de recherche.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 16 mai 2021 12:40

oty20 a écrit :
16 mai 2021 01:15
Désolé j'avais une meilleur référence http://evm.ivic.gob.ve/LibroSoulier.pdf, mais pour une raison obscure elle est plus accessible. C'est le mieux que j'ai pu trouver en 30 min de recherche.
Pas de problème : c'est intéressant de ne pas avoir déjà tout de détaillé.
Et encore merci ! Je pense que j'aurais pu chercher longtemps par moi même. Je soupçonne que l'élève qui a retranscrit l'exo a oublié quelques questions intermédiaires :)
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 19 mai 2021 12:33

Bonjour,
V@J a écrit :
30 mars 2021 11:18
Pour information :
- soit une astuce peut se comprendre et se reproduire, auquel cas il ne s'agit pas d'une astuce, mais de l'application de résultats plus généraux à un cas particulier ;
- soit elle n'est pas reproductible, auquel cas son apport pédagogique est limité, notamment dans une perspective dite « de recherche ».
Aurais tu un exemple d une astuce qui ne soit pas reproductible ?





Edit2 : J avais écrit une erreur
Modifié en dernier par Contrexemple le 20 mai 2021 02:11, modifié 2 fois.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 20 mai 2021 01:08

oty20 a écrit :
15 mai 2021 23:42
Cela me rappelle un theme que j'ai rencontré il y a des mois sur un autre forum, Regularly varying functions, le cas de l'exo est plutôt slowly varying functions, à partir de la page 6 dans cette référence https://www.math.u-szeged.hu/~kevei/tan ... _notes.pdf, le résultat de l'exo est la proposition 7 page 13 il me semble.
Encore merci pour la référence.
Voici donc ma correction de l'exo.
https://www.dropbox.com/s/v9q3bfi6y4stg ... I.pdf?dl=0

Je me demande comment l'examinateur a géré le déroulement de l'oral...
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