Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 13 mai 2021 11:16

Pour le 1.
SPOILER:
$g$ est injective continue donc monotone, notons $a=lim_{-\infty}g, b=lim_{+\infty}g$.
Si $a\in \{\pm\infty\}$ alors par continuité de $f$ on a $f(a)=\pm\infty\in\mathbb R$ absurde, et de même pour $b$. Ainsi $a$ et $b$ sont $+\infty$ et $-\infty$ selon la monotonie de $g$. Ainsi $g$ est une bijection de $\mathbb R$ (donc un homéomorphisme). On a donc $f=g^{-1}$ et il suit $g\circ f= id$.
Pour la 2.

Pas tellement d'idées à part remarquer qu'il s'agit de résidus quadratiques et qu'on a un peu de théorie pour nous aider :(

Comment montrer que $ 2^{2020}-69 $ est premier d'ailleurs ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 mai 2021 11:29

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Test_de ... ller-Rabin

C est un algo dont le bagage de prepas suffit pour en comprendre le principe.

Mais attention c est un algo probabiliste, sinon perso j avais utilisé un logiciel de calcul formel.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 13 mai 2021 13:55

oty20 a écrit :
10 mai 2021 07:00
Pour $x \in [0,1]$ soit $M(x)$ une matrice de taille $n^{2}$ remplit avec les $n^{2}$ coefficients $1+x^{2^{k}}$ , $1\leq k \leq n^{2}$.

Soit $p \in S_{n^{2}}$ et $M(p,x)$ la matrice obtenue par l'action de $p$ sur $M(x)$.

$\det(M(p,x))$ est polynomial en $x$. Donc il existe un nombre fini de valeurs de $x$ tels que $M(p,x)$ est non inversible, ainsi il existe un nombre fini de valeurs de $x$ tels que $M(p,x)$ est non inversible pour tout $p \in S_{n^{2}}$....
Attention à bien signaler/justifier que $det(M(p,x))$ permet de définir un polynôme non nul, sinon ça marche moins bien (mettre $1+x$ partout comme coefficient permet de faire la même phrase avec une conclusion un peu fausse) :)
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Calli » 13 mai 2021 14:00

Bonjour,
Contrexemple a écrit :
13 mai 2021 02:47
Déterminer le cardinal de la courbe $x^5+1=y^2$ sur le corps $\mathbb Z/q \mathbb Z$ avec $q=2^{2020} - 69$.
Voici ma réponse. J'admets que $q$ est premier.
SPOILER:
On a $2^4 \equiv 1\,[5]$ donc $q=(2^4)^{505}-70+1\equiv 2\,[5]$. Ainsi, il existe un entier $k$ tel que $q=5k+2$. Donc, d'après le petit théorème de Fermat, pour tout $x\in\Bbb F_q^*$, $1 = x^{q-1} =x^{5k+1}$ puis $(x^5)^k = x^{-1}$. Comme $x\mapsto x^{-1}$ est injective, $x\mapsto x^5$ l'est aussi. Donc $x\mapsto x^5$ est bijective de $\Bbb F_q^*$ dans lui-même, et aussi de $\Bbb F_q$ dans lui-même.
Ainsi : $\forall y\in \Bbb F_q, \exists ! x\in \Bbb F_q, x^5= y^2-1$. Donc le nombre de couples solutions de $x^5+1=y^2$ dans $\Bbb F_q^2$ est le cardinal de $\Bbb F_q $, c'est-à-dire $q$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 mai 2021 18:40

SPOILER:
Ce qui est remarquable c'est qu'avec cette méthode on a, sans effort, le nombre de point de la courbe elliptique $y^2=x^3+c$ sur $\mathbb F_q$ quand $pgcd(3,q-1)=1$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 mai 2021 18:59

$ $

Soit $q $ un nombre permier, tel que $P\in \mathbb F_q[x] $ et $deg(P) =3$
Trouver une CNS sur $q$ et les coeffs de $P$ pour que $P$ soit une bijection de $\mathbb F_q$ dans lui même.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 mai 2021 09:42

JeanN a écrit :
13 mai 2021 13:55


Attention à bien signaler/justifier que $det(M(p,x))$ permet de définir un polynôme non nul, sinon ça marche moins bien (mettre $1+x$ partout comme coefficient permet de faire la même phrase avec une conclusion un peu fausse) :)
Oui effectivement, j'avais en tête cela mais j'ai oublié de le signaler, merci.

Je propose un autre exercice :

Soit $\left(r_{n}\right)$ une suite strictement croissante de réels positifs, et
$$N(r)=\left|\left\{n \in \mathbb{N} \mid r_{n} \leq r\right\}\right|$$.

Pour $c>0, f:[0, c) \rightarrow \mathbb{R}$ continue par morceaux. On suppose que :
$$N(r) \sim r^{x}$$

Montrer que :
$$
\lim _{r \rightarrow+\infty} \frac{1}{N(r)} \sum_{r_{n} \leq r} f\left(c \frac{r_{n}}{r}\right)=\frac{1}{c^{x}} \int_{0}^{c^{x}} f\left(y^{\frac{1}{x}}\right) d y
$$
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 15 mai 2021 17:09

Mes tentatives :

L'exo d'Oty20 :
SPOILER:
On a $\exists A,B>0, \forall r\ge 0, Ar^x\le N(r)\le Br^x$. (quitte à poser $r_0=0$)

On se donne alors $\forall n\ge 0, 1+B\beta_n^x\le n \le A \alpha_n^x$ avec $\alpha$ et $\beta$ des suites à valeurs entières, de sorte que :
$\forall n\ge 0, \beta_n\le r_{1+N(\beta_n)}\le r_n\le r_{N(\alpha_n)}\le \alpha_n$

On obtient alors l'encadrement suivant, en choisissant pour $\alpha$ et $\beta$ les parties entières naturelles: : $\frac{n-1}{B}\le r_n^x\le (1+\frac nA^{\frac1x})^x=\frac nA C$ avec $C$ une constante.

Je pensais alors utiliser les sommes de Riemann car

$\dfrac 1{N(r)} \displaystyle\sum_{n=0}^{N(r)} f((c^x \frac{r_n^x}{r^x})^{\frac 1x})\longrightarrow \displaystyle\int_0^{c^x} f(y^{\frac 1x}) dy$


si $r_n^x-r_{n-1}^x = o(r^x)$
Cependant, je n'ai pas mieux que :

$r_n^x-r_{n-1}^x\le \frac CA n-\frac{n-2}B =O(n)=O(r^x)$ car $n\le N(r)\le Br^x$ .
L'exo de Contrexemple :
SPOILER:
$P=X^3+aX^2+bX+c\in\mathbb{F}_q[X]$ (on peut se ramener sans problème à $P$ unitaire).
$P(x)=P(y)\iff q|(x-y)[(x^2+xy+y^2)+a(x+y)+b]$

$P$ injectif (donc bijectif) si et seulement si le polynôme en second membre n'a pas de racines en dehors la diagonale, c'est-à-dire ssi :

$\forall x\neq y, x^2+xy+y^2+a(x+y)+b\not=0$

Fixons $y$ et considérons le polynôme en $x$.

S'il s'annule, il est scindé : $x^2+(a+y)x+y^2+ay+b= (x-\alpha)(x-\beta)$

$\alpha+\beta=- a-y$
$y^2+ay+b=\alpha\beta$ en identifiant les coefficients.

Tous les couples $(-y-\alpha-\beta, \alpha\beta+(\alpha+\beta)y)$ pour tous les triplets $(y,\alpha,\beta)$ parcourant $\mathbb F_q^3$ privé de sa diagonale ne peuvent pas convenir pour $(a,b)$.

Cependant, je ne parviens pas à voir dans quels cas cette réunion ne recouvre pas $ \mathbb F_q^2 $...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 15 mai 2021 21:06

Un énoncé posé à l'X en psi (qui me résiste :( )

Soit $\alpha>1$.
Soit $f:[e,+\infty[\to [1,+\infty[$ continue telle que pour tout $a>1$, $\sup \{ \left| \frac{f(\lambda x)}{f(x)} - 1 \right|, \lambda \in [1,a]\} \to 0$ quand $x\to +\infty$.

Montrer que $\int_x^{+\infty} t^{-\alpha} f(t) dt$ existe et en trouver un équivalent simple quand $x\to +\infty$.

La première question consistait à traiter le cas $f=\ln$.
SPOILER:
Il me manque l'existence de l'intégrale, qui d'après mon travail revient à l'existence d'une limite finie pour $\dfrac{f(x)}{x^{\alpha-1}}$ en $+\infty$
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 15 mai 2021 23:42

Cela me rappelle un theme que j'ai rencontré il y a des mois sur un autre forum, Regularly varying functions, le cas de l'exo est plutôt slowly varying functions, à partir de la page 6 dans cette référence https://www.math.u-szeged.hu/~kevei/tan ... _notes.pdf, le résultat de l'exo est la proposition 7 page 13 il me semble.
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