Probabilité et série
Probabilité et série
Bonjour,
Souvent les exercices de probabilités sont un bon prétexte pour utiliser le cour sur les séries numériques. Par exemple deux exercices classiques : le taux de panne et la marche aléatoire sur la droite (qui utilise les séries entières aussi).
Pour aller plus loin, je suis à la recherche d'un exercice de probabilités qui en plus de parler de probabilité utilise un résultat de sommation des relations de comparaison ou comparaison série intégrale voir les deux.
J'ai passé quelques heures à faire des recherches mais je crois que la meilleur stratégie c'est quand même de poster sur le forum donc je me permet de vous écrire.
Merci pour votre aide.
Souvent les exercices de probabilités sont un bon prétexte pour utiliser le cour sur les séries numériques. Par exemple deux exercices classiques : le taux de panne et la marche aléatoire sur la droite (qui utilise les séries entières aussi).
Pour aller plus loin, je suis à la recherche d'un exercice de probabilités qui en plus de parler de probabilité utilise un résultat de sommation des relations de comparaison ou comparaison série intégrale voir les deux.
J'ai passé quelques heures à faire des recherches mais je crois que la meilleur stratégie c'est quand même de poster sur le forum donc je me permet de vous écrire.
Merci pour votre aide.
Re: Probabilité et série
Bonjour,
Voici une proposition, peut-être pas la meilleure. Il y a une question qui utilise ce que tu demandes (pas de façon super poussée). Elle peut se faire indépendamment du reste si tu n'as pas envie de faire tout l'exercice. C'est la numéro :
NB: La notation $ \wedge $ désigne le minimum.
Voici une proposition, peut-être pas la meilleure. Il y a une question qui utilise ce que tu demandes (pas de façon super poussée). Elle peut se faire indépendamment du reste si tu n'as pas envie de faire tout l'exercice. C'est la numéro :
SPOILER:
NB: La notation $ \wedge $ désigne le minimum.
Soit $ X $ une v.a. de support $\mathbb{N}^*$ telle que : $\forall n\in \mathbb{N}^*, \, \mathbb{P}(X=n) = \frac{1}{\zeta (2)n^2 }$. Soient $(X_{n} )$ une suite de v.a. indépendantes de même loi que $X$, puis $S_{n} := \sum_{k=1}^n X_{k}$. Objectif : on a $\mathbb{E}[X]=\infty $, donc $\frac{S_{n} }{n} \rightarrow \infty $ p.s. d'après la loi forte des grands nombres et on aimerait estimer plus précisément la vitesse de cette divergence.
- Soit $Y_{1} ,\dots ,Y_{n}$ une suite de v.a. i.i.d. centrées et dans $L^{4}$. Montrer $\mathbb{E}\!\left[\left(\sum \limits_{k=1} ^{n} Y_{k} \right)^{4} \right] = n \, \mathbb{E}[Y_{1} ^{4} ] + 3n(n-1) \, \mathbb{E}[Y_{1} ^2 ]^2 $.
- Soit $m>0$. Posons $S_{n} ^{*} := \sum \limits_{k=1} ^{n} (X_{k} \wedge m)$. Montrer que, pour tout $a>0$, \[\mathbb{P}\!\left( \left| \frac{S_{n} ^{*} }{n} -\mathbb{E}[X\wedge m] \right|^{4} \geqslant a^{4} \right) \leqslant \frac{4m^{4} }{n^2 a^{4}.}\]
- Calculer un équivalent de $\mathbb{E}[X \wedge m]$ quand $m\rightarrow \infty $.
- Montrer que $\displaystyle \mathbb{P}\!\left( \frac{S_{n} }{n} \leqslant \frac{1}{2} \, \mathbb{E}[X\wedge \sqrt[8]{n}] \right) = O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)$.
- Montrer qu'il existe $C>0$ telle que, p.s., $\displaystyle \frac{S_{n} }{n} > C \ln (n)$ à partir d'un certain rang.
Re: Probabilité et série
Bonjour Calli,
Merci pour l'exercice.
Pour la 2) c'est bienaimé Chebychev mais il faut supprimer les puissances 4. Ce qu'on peut faire car les évènement sont égaux. Du coup moi j'ai majoré par 2m^2 / a^2 n^2.
Du coup j'obtient un grand O de 1/n^2, ce qui me permet toujours d'appliquer Borel Cantelli.
Merci pour l'exercice.
Pour la 2) c'est bienaimé Chebychev mais il faut supprimer les puissances 4. Ce qu'on peut faire car les évènement sont égaux. Du coup moi j'ai majoré par 2m^2 / a^2 n^2.
Du coup j'obtient un grand O de 1/n^2, ce qui me permet toujours d'appliquer Borel Cantelli.
Re: Probabilité et série
Si je ne fais pas d'erreur, $$\mathbb{V}\!\left( \frac{S_{n} ^{*} }{n} \right) = \frac1{n^2} \mathbb{V}( S_{n} ^{*} ) = \frac1n \mathbb{V}( X\wedge m ) \leqslant \frac{m^2}n$$ donc tu obtiens la majoration $\dfrac{m^2}{na^2}$, ce qui ne convient pas.
Re: Probabilité et série
Ah je vois il faut utiliser la question d'avant.
Re: Probabilité et série
Avez vous une référence pour cet exercice ?
Re: Probabilité et série
La référence c'est moi . C'est moi qui ai créé cet exercice. Si tu as des questions dessus, je peux y répondre.
Re: Probabilité et série
Avez vous un exercice contenant les notions évoquées disponible dans un livre qu'on peut trouver dans les bibliothèques universitaires s'il vous plaît ?
Re: Probabilité et série
Il y a à peu près la même chose, dans un cadre plus large, dans le sujet essec2 de ECE de cette année !
Professeur de mathématiques approfondies en ECG2, lycée Touchard-Washington, Le Mans
Re: Probabilité et série
Merci, j'espère que les livres d'annales ont été livrés mais je pense que c'est un peu tôt. Je crois qu'ils arriveront l'année prochaine.