Exo topo MP

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Exo topo MP

Message par Tamador195 » 14 juin 2021 11:35

Bonjour, je bloque un peu sur un exo :

On pose pour un polynôme P de C[X], N(P) = max (|P(z)| pour z dans U)

On montre que c’est une norme

Puis on nous demande de montrer que pour tout P, |P(0)|=< N(P)

J’ai tenté de raisonner avec la forme trigo, de trouver un argument qui va bien, sans succès. J’ai aussi montré le résultat pour des polynômes de degré 0 et 1, et ai essayé de raisonner par stabilité (DFI), encore sans succès.
Une piste ?
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Re: Exo topo MP

Message par Calli » 14 juin 2021 14:00

Bonjour,
Regarder $ \displaystyle \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} P(e^{i\theta}) \,{\rm d}\theta $.

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Re: Exo topo MP

Message par JeanN » 14 juin 2021 23:03

Ou si P est de degré au plus n-1 pour un certain n dans N^*, la valeur moyenne des P(z) où z décrit $U_n$.
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Re: Exo topo MP

Message par Tamador195 » 15 juin 2021 09:33

Merci pour l’indication Calli et pour l’explication JeanN. Je vais essayer
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Re: Exo topo MP

Message par JeanN » 16 juin 2021 17:08

Ma réponse était une (autre) indication, pas une explication :)
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Re: Exo topo MP

Message par V@J » 17 juin 2021 20:31

Plus généralement, on peut en fait démontrer que $|P(x)| \leqslant N(P)$ pour tout nombre complexe $x$ tel que $|x| \leqslant 1$. Pour ce faire, tu peux
SPOILER:
procéder par l'absurde, c'est-à-dire supposer que $P$ n'est pas constant et qu'il existe un réel $x$ tel que $|x| < 1$ et $|P(x)| \geqslant |P(t)|$ pour tout $t$ tel que $|x| \leqslant 1$, avant d'étudier soigneusement $P'$ au voisinage de $x$.
C'est d'ailleurs en usant du même procédé que l'on peut aussi démontrer que tout polynôme non constant admet une racine sur $\mathbb{C}$.

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