Démonstrations élégantes

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 23 juin 2021 11:46

Salut,

Le but de ce fil est de partager les démonstration que vous trouvez élégantes, afin de nourrir l'inspiration, en préparation des oraux de maths.

Alors je commence.

$ $Soit $f \in C^1([0,1]),g \in C^2(f([0,1]))$
$$A_{g,f}=\left|\int_0^1g(f(x)) \text{d}x-g(\int_0^1f(x) \text{d}x)\right|\leq \max(|f'|)\times \max(|f|) \times \max(|g''|) $$

Justification :
SPOILER:
Ici on utilise une astuce qui peut être bien utile.

On a $u(x)=g(x)+\max(|g''|)/2 \times x ^2$ et $v(x)=-g(x)+\max(|g''|)/2 \times x^2$ qui sont convexes.

En utilisant l'inégalité de Jensen sur $u$ et $v$ on obtient :

$$A_{g,f} \leq \max(|g''|)/2 \left|\int_0^1 f(x)^2\text{d}x- \left(\int_0^1f(t)\text{d}t\right)^2 \right|$$

$$A_{g,f}\leq \max(|g''|)/2 \left| \int_0^1 \int_0^1\int_0^1 (f(x)+f(s))(f(x)-f(t)) \text{d}x\text{d}tds \right|\leq \max(|g''|)/2 \times 2\max(|f|) \times \max(|f'|) \times \int_0^1\int_0^1 |x-t| dxdt$$

CQFD

Remarque : on peu affiner l'inégalité en calculant $\int_0^1\int_0^1 |x-t| dxdt=1/3$ et sans le majorer brutalement par 1.
Bon courage.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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Re: Démonstrations élégantes

Message par Calli » 24 juin 2021 00:04

Bonjour,
Il y a une contrainte de niveau sur les énoncés et les solutions ?

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Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 24 juin 2021 00:40

Oui, il faut que la justification reste accessible à un MP* de bon niveau ( style oraux X ENS)

Edit : la justification doit être courte (disons moins de 10 lignes aérés) pour être facilement retenue et ainsi re-utiliser.

J en profite pour en mettre une autre que j aime beaucoup.


$ $$A, B$ matrice carré réels semblable dans les matrices complexes alors elles sont semblables dans les matrices réelles.

SPOILER:
on a $RAR^{-1}=B$ donc (1) $RA-BR=0$ on pose $R=S+iT$ avec $S, T$ matrices réelles

Donc (1) devient $(SA-BS) +i(TA-TB) =0$ donc par identification des parties réelles et imaginaires on a :

$SA=BS$ et $TA=BT$, on considère le polynôme à coeffs réelles $P(x) =det(S+xT) $ non nul car $P(i) $ non nul.

Donc il existe $a$ réel tel que $P(a) $ non nul. Donc $MAM^{-1}=B$ avec $M=S+aT$.

CQFD.
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Re: Démonstrations élégantes

Message par Salimovich » 26 juin 2021 16:03

Une preuve de l'indénombrabilité de [0,1] que je trouve sympa :
SPOILER:
S'il existe une surjection $f : \mathbb{N}^* \mapsto [0,1]$ alors on pose $U_n = ]f(n)-10^{-n}, f(n)+10^{-n}[$. La famille $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est un recouvrement ouvert de $[0,1]$ donc on peut en extraire un sous-recouvrement fini $(U_i)_{i \in I}$ par compacité. En notant $l$ la longueur d'un intervalle de $\mathbb{R}$ on obtient

$$1 = l([0,1]) \leq l \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right) \leq \sum_{i \in I} l(U_i) \leq \sum_{n = 1}^{+\infty} l(U_n) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2}{10^n} = \frac{2}{9}$$

Ce qui est absurde.
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Re: Démonstrations élégantes

Message par Mourien » 26 juin 2021 20:58

Salimovich a écrit :
26 juin 2021 16:03
Une preuve de l'indénombrabilité de [0,1] que je trouve sympa :
SPOILER:
S'il existe une surjection $f : \mathbb{N}^* \mapsto [0,1]$ alors on pose $U_n = ]f(n)-10^{-n}, f(n)+10^{-n}[$. La famille $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est un recouvrement ouvert de $[0,1]$ donc on peut en extraire un sous-recouvrement fini $(U_i)_{i \in I}$ par compacité. En notant $l$ la longueur d'un intervalle de $\mathbb{R}$ on obtient

$$1 = l([0,1]) \leq l \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right) \leq \sum_{i \in I} l(U_i) \leq \sum_{n = 1}^{+\infty} l(U_n) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2}{10^n} = \frac{2}{9}$$

Ce qui est absurde.
Magnifique !

On n'a même pas besoin de Borel-Lebesgue en plus !
PCSI
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Re: Démonstrations élégantes

Message par Calli » 27 juin 2021 09:57

Soient $A \subset\mathbb{R}$ infini et borné, et $\displaystyle u_n = \sup_{(x_1,\cdots,x_n) \in A^n} \prod_{1\leqslant i < j \leqslant n} |x_j-x_i|$. Montrer que la suite $v_n = u_n^{\tfrac{2}{n(n-1)}}$ est décroissante.
SPOILER:
Je note, pour tout $x=(x_1,\dots,x_n)\in A^n$, \[p(x):=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n} |x_i-x_j| \qquad\text{et}\qquad\forall i\in[\![1,n]\!],\; p_i (x):= \prod_{j\in[\![1,n]\!],\, i\neq j} |x_i-x_j|.\] Alors $\displaystyle u_n = \sup_{x\in A^n} p(x)$.
Soit $x\in A^{n+1}$. Comme $\displaystyle p(x)^2 = \prod\limits_{i=1}^{n+1} p_i(x)$, on a $\min_i p_i(x)\leqslant p(x)^{\textstyle \frac2{n+1}}$. Soit $i_0$ un indice pour lequel ce min est atteint. On a \[p(x) = p_{i_0}(x) \cdot p((x_j)_{j\neq i_0}) \leqslant p(x)^{\textstyle \frac2{n+1}} \cdot u_n \] donc \[p(x)^{\textstyle 1-\frac2{n+1}} \leqslant u_n\] et \[u_{n+1} \leqslant u_n^{\textstyle 1/(1-\frac2{n+1})} = u_n^{\textstyle \frac{n+1}{n-1}}.\] Finalement : \[u_{n+1}^{\textstyle \frac2{n(n+1)}} \leqslant u_n^{\textstyle \frac2{n(n+1)} \frac{n+1}{n-1}} = u_n^{\textstyle \frac2{n(n-1)}}.\]

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Re: Démonstrations élégantes

Message par Calli » 27 juin 2021 10:02

Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$ admettant une limite épointée en tout point. Montrer que son nombre de points de discontinuité est au plus dénombrable.
SPOILER:
Esquisse de preuve : Les ensembles $$E_n := \{a\in \Bbb R\mid | f(a)-\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x\neq a}} f(x) |>\frac1n\}$$ sont tous dénombrables, car si un $E_n$ était indénombrable, il aurait un point d'accumulation $a$ et $f$ n'aurait pas de limite épointée en $a$.

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Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 27 juin 2021 14:24

Le dernier résultat de Calli, me fait penser à ce résultat :

Soit $(f_i)_{i\in I}$ une suite de fonctions dans $C([0,1])$ indicé par $I$ infini indénombrable, sous ensemble de $[0,1]$.
Alors il existe $(f_{i_n})_n$ une suite de fonction convergente uniformément vers une fonction continue et avec $i_n$ injectif dans $I$ et qui converge également dans $[0,1]$.
SPOILER:
C'est une application directe du théorème suivant :

$E=C([0,1]) \times [0,1]$, $d=max(||.||_\infty,|.|)$, $A=\mathbb Q[x] \times ([0,1] \cap \mathbb Q)$ et $C=\{ (f_i,i) ; i \in I \}$6

$(E,d)$ ensemble métrique avec $A=\{a_n \in E, n\in\mathbb N \}$ dense dans $E$, et $C$ un sous-ensemble de $E$ infini et indénombrable.
Alors $C$ posséde un point d'accumulation.

Justification :

Si $C$ sans point d'accumulation, alors $\forall c \in C, \exists e_c>0, B(c,e_c)$ boule ouverte tel que
$\forall c \in C, B(c,e_c) \cap C-\{c\}=\emptyset $

Par densité de $A$ on a $\forall c \in C, \exists n_c \in \mathbb N, a_{n_c} \in B(c,e_c/4)$
Les $a_{n_c}$ distinct pour $c$ distinct, car les $B(c,e_c/4)$ disjointes
donc les $a_{n_c}$ sont indénombrable, absurde car les $a_{n_c}$ sont dans $A$ qui est dénombrable.

CQFD.

PS : l'intérêt du théorème c'est que vous pouvez le montrer en 5 lignes, et alors vous pouvez l'utiliser pour vous aidez à l'oral.

Maintenant vous pouvez prouver sans difficulté que si $f$ fonction réelle quelconque alors il existe une suite réelle $(x_n)$ injective tel que $f(x_n)$ tende vers $f(t)$ avec $x_n$ qui tend vers $t$.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 27 juin 2021 18:02

Le principe de promiscuité :

Plus on est nombreux plus on est serré :

https://www.maths-forum.com/enigmes/les ... l#p1365313





SPOILER:
C'est un corollaire de :

Soit $E=\{x_1,...,x_m \} \subset \mathbb R^n$ tel que $\forall i,j \in \{1,2,...,m\}, i \neq j, b \geq ||x_i-x_j||\geq a$
alors $m \leq (1+2b/a)^n$

Justification :

Les boules ouvertes $B(x_i,a/2)$ sont 2 à 2 disjointes et incluses dans la boule fermé : $B_f(x_1,b+a/2)$.

Comme une boule de rayon $r$ à un volume proportionnelle à $r^n$ , on a :

$m \times (a/2)^n \leq (b+a/2)^n$ d'où $m\leq (1+2b/a)^n$
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 04 juil. 2021 18:02

Bonjour,

$ $Soit $\mathbb K$ un corps fini de cardinaité $q$.

Déterminer le nombre minimal d'hyper-plans vectoriels qu'il faut pour recouvrir :
$E=\mathbb K^n$


Justification :
SPOILER:
Soit $H_1,...,H_q$ $q$ hyperplans vectoriels, contiennent tous $0$ alors $card(\bigcup \limits_{i\in \{1,...,q\}} H_i) \leq (q^{n-1}-1) \times q +1=q^n-q+1<q ^n=card(E)$
Donc il faut au moins $q+1$ hyperplans pour recouvrir $E$.

Soit $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$.

$\forall i \in \mathbb K, A_i=vect(e_1,...,e_{n-1}+i.e_n)$ et $B=vect(e_1,...,e_{n-2},e_n)$

Alors ces $q+1$ hyperplans, par construction, recouvrent $E$.

CQFD
Edit : erreur décrite par Calli.

Bonne journée.
Modifié en dernier par Contrexemple le 05 juil. 2021 00:19, modifié 1 fois.
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