SPOILER:
Une simple somme télescopique. $$\begin{eqnarray*}
\sum_{n\geqslant 5}\frac1{\binom{n}5} &=& \sum_{n\geqslant 5}\frac{5!}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} \\
&=& \frac{5!}4 \sum_{n\geqslant 5}\Big(\frac1{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} -\frac1{n(n-1)(n-2)(n-3)} \Big) \\
&=&\frac{5!}4 \frac1{4\cdot3\cdot2\cdot1}\\
&=& \frac54
\end{eqnarray*}$$
\sum_{n\geqslant 5}\frac1{\binom{n}5} &=& \sum_{n\geqslant 5}\frac{5!}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} \\
&=& \frac{5!}4 \sum_{n\geqslant 5}\Big(\frac1{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} -\frac1{n(n-1)(n-2)(n-3)} \Big) \\
&=&\frac{5!}4 \frac1{4\cdot3\cdot2\cdot1}\\
&=& \frac54
\end{eqnarray*}$$