Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 30 juil. 2021 22:50

Mourien a écrit :
27 juil. 2021 23:59

Oui :
SPOILER:
Soit $d\ge 1$ le degré de $P$.
On a pour $d^2\le q< (d+1)^2$ : $\lfloor \sqrt q\rfloor=d$

$P$ est donc à valeurs entières en $d(d^2), d(d^2+1),\dots, d(d^2+2d)$.

Posons $Q(X):=P(d(d^2+X))$

Alors $Q$ est à valeurs entières sur $0,\dots, 2d$ et son degré est aussi $d$.

Il est classique (cf polynômes de Hilbert) que $Q$ est à valeurs entières sur $\mathbb Z$.

Or $P(X)=Q(\dfrac{X-d^3}d)$ donc $P$ est à valeurs entières sur $d\mathbb Z$.

...
Je ne vois pas pourquoi (pour le donc en rouge).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Pré 7/2 » 30 juil. 2021 23:07

Si a€dZ, il s'écrit a=kd pour un certain k€Z et P(a)=Q(k-d^2) avec k-d^2 qui appartient à Z, d'où le résultat escompté avec l'hypothèse Q(Z) inclus dans Z

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 30 juil. 2021 23:08

Je vous en propose 2 de plus que je trouve joli :

Déterminer, les $p\in\mathbb N,p<100$ tel que
$U_p=\sum \limits_{n\geq 0} p^n \times 10^{-n^2}$ soit un nombre univers en base 10.



On considère l'algo récursif suivant :

Code : Tout sélectionner

PGCD:=proc(a,b)
if(a=b) then RETRUN(a);
elif(a<b) then PGCD(a,b-a);
else PGCD(a-b,b);
Soit $(a,b)\in\mathbb R^*_+$

1/ Déterminer une CNS, en la justifiant, sur $(a,b)$ pour que l'algo s'arrête.

2/ Dans le cas où l'algo s'arrête déterminer, en la justifiant, la valeur de $PGCD(a,b)$ en fonction de $a$ et $b$.


En bon français ces questions reviennent à se demander si on peut définir sur tous les réels un pgcd.

edit : erreur dans le code du pgcd
Dernière modification par Contrexemple le 06 août 2021 19:55, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 30 juil. 2021 23:28

Celui là est ancien, je le re-mets ici et donnerais,, ma solution, si personne ne la trouve, dans le fil sur les démo élégantes.



On pose $G=\mathbb Z / 6^{100}\mathbb Z$
Pour $a,b\in\mathbb N \cap [0,100]$ on note : $A_{a+b\times 101}$ le sous-groupe de $G$ d'ordre $2^a \times 3^b$ .

Calculer $\text{card}(\bigcup \limits_{i=1}^{100} A_{11^i \mod 101^2})$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 31 juil. 2021 09:03

Contrexemple a écrit :
30 juil. 2021 22:50
Mourien a écrit :
27 juil. 2021 23:59

Oui :
SPOILER:
Soit $d\ge 1$ le degré de $P$.
On a pour $d^2\le q< (d+1)^2$ : $\lfloor \sqrt q\rfloor=d$

$P$ est donc à valeurs entières en $d(d^2), d(d^2+1),\dots, d(d^2+2d)$.

Posons $Q(X):=P(d(d^2+X))$

Alors $Q$ est à valeurs entières sur $0,\dots, 2d$ et son degré est aussi $d$.

Il est classique (cf polynômes de Hilbert) que $Q$ est à valeurs entières sur $\mathbb Z$.

Or $P(X)=Q(\dfrac{X-d^3}d)$ donc $P$ est à valeurs entières sur $d\mathbb Z$.

...
Je ne vois pas pourquoi (pour le donc en rouge).
Si $X=dY, Y \in \mathbb Z$ alors $\dfrac{X-d^3}d \in \mathbb Z$.

Le plus simple est peut être d'écrire $P(dY)=Q(Y-d^2)$ sinon
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 31 juil. 2021 12:22

@Mourien : Ok, c'est moi qui avait mal compris.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 15 oct. 2021 19:09

Bonjour,

$ M_g=(x_1\times x_2...x_n)^{\dfrac{1} {n} }, M_a=(x_1+...+x_n)\times \dfrac{1}{n} $

A-t-on $ |M_a-M_g|\leq \dfrac{ \max(x_i)} {\min(x_i) }\times ( \dfrac{1}{n^2}\times \sum \limits_{(i, j) \in \{1,...,n\}^2} |x_i-x_j|) $?

Ps : c'est bien une question niveau recherche (avec une réponse astucieuse de niveau prépas) :
https://mathoverflow.net/questions/4062 ... -am-and-gm

Bon courage.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 nov. 2021 15:06

Bonjour,

Un nouvelle énigme niveau recherche :

Soient $u_0=6, u_1=4$ et $u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}+u_{n}}{1+u_n\times u_{n+1}} \mod 2^{100}$.
Calculer $u_{3^{2021}}$.

https://mathoverflow.net/questions/4084 ... impossible

Ps : bien sûr il existe une réponse niveau Mp*, mais vraiment très astucieuse.


Bonne journée.


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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 21 nov. 2021 21:48

Salut

Soient $p, q$ nombres premiers tel que $q|2^p-1$. A-t-on $q>p$?

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