Exercice théorie de l'intégration
Exercice théorie de l'intégration
Bonjour, j'ai un exercice à faire et je n'arrive pas à montrer la première question. Voici l'énoncé :
Soit (oméga, B, nu) un espace mesuré avec nu(oméga)< infini. On suppose que la tribu B contient tous les singletons.
1) Montrer que pour tout epsilon >0 , l'ensemble { x appartient à oméga ; nu(oméga)>= epsilon} est fini.
2) En déduire que l'ensemble A={x; nu(x) différent de 0} est dénombrable.
Pour la question 1, on sait que B contient les singletons donc B est borélien. De plus, nu est fini car nu est fini car nu(oméga) < infini. Bref, je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer que l'ensemble est fini.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Cordialement.
Soit (oméga, B, nu) un espace mesuré avec nu(oméga)< infini. On suppose que la tribu B contient tous les singletons.
1) Montrer que pour tout epsilon >0 , l'ensemble { x appartient à oméga ; nu(oméga)>= epsilon} est fini.
2) En déduire que l'ensemble A={x; nu(x) différent de 0} est dénombrable.
Pour la question 1, on sait que B contient les singletons donc B est borélien. De plus, nu est fini car nu est fini car nu(oméga) < infini. Bref, je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer que l'ensemble est fini.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Cordialement.
Re: Exercice théorie de l'intégration
L'ensemble que tu définis à la question 1) est étrange : la propriété ne dépend pas de x.
Peux-tu plutôt envoyer une photo de l'énoncé pour éviter les erreurs de recopie ?
Peux-tu plutôt envoyer une photo de l'énoncé pour éviter les erreurs de recopie ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exercice théorie de l'intégration
Voici l'énoncé j'espère que la fichier s'est envoyé.
Re: Exercice théorie de l'intégration
Je n'arrive pas à envoyer l'énoncé, soit fichier trop volumineux, ou soit nombre de quotas de fichiers atteint sachant que je mets qu'un fichier... Bref, en tout cas il y a bien une erreur, c'est l'ensemble {x appartient à oméga ; nu({x})>= epsilon} est fini.
merci d'avance pour votre aide.
merci d'avance pour votre aide.
Re: Exercice théorie de l'intégration
Essaye de penser à la fonction \nu comme à une fonction qui mesure le poids.
Ensuite, imagine ce qui se passe si sur un domaine de poids fini, une infinité de points possède un poids strictement positif.
Ensuite, imagine ce qui se passe si sur un domaine de poids fini, une infinité de points possède un poids strictement positif.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exercice théorie de l'intégration
Voilà ce que j'imagine : si sur un domaine de poids fini, on a une infinité de points qui possède un poids strictement positif, cela signifie que certains points auront le même poids qui sera strictement positif car on est sur un domaine de poids fini. Est ce cela que vous attendiez ?
Si oui, cela suffit à justifier que l'ensemble est fini ?
Si oui, cela suffit à justifier que l'ensemble est fini ?
Re: Exercice théorie de l'intégration
Est-ce que tu penses pouvoir soulever (même avec un bon levier) un plateau sur lequel se trouve une infinité d'objets de masse strictement positive (même petite) ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exercice théorie de l'intégration
Non ce n'est pas possible de le soulever.
Re: Exercice théorie de l'intégration
As-tu réussi à répondre à la première question finalement ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exercice théorie de l'intégration
J'ai montré par l'absurde qu'il était fini. J'ai suppose que l'ensemble était infini donc nu({x}) >= infini. Or x appartient à oméga, or nu(omega) < infini. Donc c'est absurde l'ensemble est fini.
Est ce cela ?
Est ce cela ?