Exercice théorie de l'intégration

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Exercice théorie de l'intégration

Message par Beugniet » 19 sept. 2021 12:32

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je n'arrive pas à montrer la première question. Voici l'énoncé :

Soit (oméga, B, nu) un espace mesuré avec nu(oméga)< infini. On suppose que la tribu B contient tous les singletons.
1) Montrer que pour tout epsilon >0 , l'ensemble { x appartient à oméga ; nu(oméga)>= epsilon} est fini.
2) En déduire que l'ensemble A={x; nu(x) différent de 0} est dénombrable.

Pour la question 1, on sait que B contient les singletons donc B est borélien. De plus, nu est fini car nu est fini car nu(oméga) < infini. Bref, je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer que l'ensemble est fini.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Cordialement.

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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par JeanN » 19 sept. 2021 16:54

L'ensemble que tu définis à la question 1) est étrange : la propriété ne dépend pas de x.
Peux-tu plutôt envoyer une photo de l'énoncé pour éviter les erreurs de recopie ?
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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par Beugniet » 19 sept. 2021 17:50

Voici l'énoncé j'espère que la fichier s'est envoyé.

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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par Beugniet » 19 sept. 2021 18:03

Je n'arrive pas à envoyer l'énoncé, soit fichier trop volumineux, ou soit nombre de quotas de fichiers atteint sachant que je mets qu'un fichier... Bref, en tout cas il y a bien une erreur, c'est l'ensemble {x appartient à oméga ; nu({x})>= epsilon} est fini.
merci d'avance pour votre aide.

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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par JeanN » 19 sept. 2021 20:11

Essaye de penser à la fonction \nu comme à une fonction qui mesure le poids.
Ensuite, imagine ce qui se passe si sur un domaine de poids fini, une infinité de points possède un poids strictement positif.
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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par Beugniet » 19 sept. 2021 21:47

Voilà ce que j'imagine : si sur un domaine de poids fini, on a une infinité de points qui possède un poids strictement positif, cela signifie que certains points auront le même poids qui sera strictement positif car on est sur un domaine de poids fini. Est ce cela que vous attendiez ?
Si oui, cela suffit à justifier que l'ensemble est fini ?

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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par JeanN » 19 sept. 2021 23:22

Est-ce que tu penses pouvoir soulever (même avec un bon levier) un plateau sur lequel se trouve une infinité d'objets de masse strictement positive (même petite) ?
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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par Beugniet » 20 sept. 2021 13:35

Non ce n'est pas possible de le soulever.

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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par JeanN » 20 sept. 2021 18:19

As-tu réussi à répondre à la première question finalement ?
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Re: Exercice théorie de l'intégration

Message par Beugniet » 21 sept. 2021 09:29

J'ai montré par l'absurde qu'il était fini. J'ai suppose que l'ensemble était infini donc nu({x}) >= infini. Or x appartient à oméga, or nu(omega) < infini. Donc c'est absurde l'ensemble est fini.
Est ce cela ?

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