Lemme de Riesz

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Lemme de Riesz

Message par Bidoof » 10 juil. 2019 13:03

$ $
Bonjour à tous,

Proposition : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie.
Soit $F$ un sous $K$ espace vectoriel de $E$ et de dimension finie.
Il existe $x \in E$ unitaire tel que $d(x,F) \ge \frac{1}{2}$.

Preuve : Il existe $y \in E - F$ et $\delta := d(y,F) >0$, il existe donc $u \in F$ tel que $ \| u -y \| \le 2 \delta $
Un calcul montre que $x = \frac{u-y}{\| u-y \|}$ convient.

Doit on apprendre par coeur la démo ou peut on retrouver $x$ sur un dessin ?

Merci pour votre aide.

V@J

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Re: Lemme de Riesz

Message par V@J » 11 juil. 2019 06:53

Bonjour,

Un dessin peut suffire si tu as compris ce qui se passait : y est un des points de F les plus proches de u, donc si tu regardes la distance de u à un autre point quelconque de F, tu ne gagneras quasiment rien (au plus un facteur r).

Par conséquent, il te suffit de faire un recentrage sur l'origine (en ôtant y à u et à y lui-même) pour que 0 soit un des points de F les plus proches de u-y (à un facteur r près). Puis tu renormalises u-y (en le divisant par sa norme) et c'est fini.

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Re: Lemme de Riesz

Message par Bidoof » 13 juil. 2019 21:10

Hum.

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