montrer q'une famille de fonctions est libre

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montrer q'une famille de fonctions est libre

Message par theprofessor99 » 10 sept. 2019 21:50

le probleme me demande de montrer que la famille suivante est libre
(fa)a appartienr a R
avec fa(x)=|x-a|
j'ai utilisé la proprieté suivante :" une famille est libre ssi toute sous famille est libre" mais je narrive pas a demontrer qu'une sous famille est libre
aide s'il vous plait

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Re: montrer q'une famille de fonctions est libre

Message par Nabuco » 10 sept. 2019 21:56

Utilisé la propriété dont tu as parlé et tu as une combinaison linéaire finie de |x-a| valant 0 regarde la derivabilite en des points bien choisis

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Re: montrer q'une famille de fonctions est libre

Message par theprofessor99 » 11 sept. 2019 07:35

j'ai essaé de supposé que la famille est liée par suite il esiste a0 tq fa0 s'ecrit comme combinaison linaire des fa
et j'ai montré que fa0 n'est pas derivable au point a0 mais je n'arrive pas a montrer que la combinaison linaire des fa est derivable

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Re: montrer q'une famille de fonctions est libre

Message par Bidoof » 11 sept. 2019 09:14

Salut,
$ $
On peut aussi raisonner par récurrence sur le nombre $n$ de $f_{a_{i}}$ pour $i \in \{1,...,n\}$.
Pour $n =1$ la famille est libre. Supposons qu'il existe un $n \in N-\{0\}$ tel que la famille $(f_{a_{i}})_{1 \le i \le n }$ est libre. Soient $a_{1} < ... < a_{n+1}$ et $\mu_{1},..,\mu_{n+1}$ des réelles tel que
$$
\sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i} f_{a_{i}} = 0
$$
Soit $t \in ]a_{n} ; a_{n+1}[$ on a
$$
0 = \sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i} (t - a_{i}) + \mu_{n+1}(a_{n+1}-t) = t [\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} - \mu_{n+1}] - \sum_{i=1}^{n} \mu_{i} a_{i} + \mu_{n+1}a_{n+1}
$$
Notre dernière expression définie un polynôme de degré 1 avec plus de 2 zéros donc $\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} = \mu_{n+1}$

Pour conclure il suffit d'évaluer prendre $t > a_{n+1}$ alors
$$
0 = t [\sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i}] - \sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i} a_{i}
$$
Pour la même raison on en déduit que $\sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i} = 0$ c'est à dire $\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} = - \mu_{n+1}$.
Donc $\mu_{n+1}= 0$ et l'hypothèse de récurrence prouve que la famille est libre.

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Re: montrer q'une famille de fonctions est libre

Message par Bidoof » 11 sept. 2019 09:21

Ah je viens de comprendre la méthode de Nabuco, elle est beaucoup mieux que la mienne je vous laisse.
D'ailleurs si j'ai bien compris ton message tu as réussi l'exercice. Il faut juste dire que chaque élément de ta combinaison linéaire est dérivable en $a_{0}$ donc la combinaison linéaire aussi.

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Re: montrer q'une famille de fonctions est libre

Message par theprofessor99 » 11 sept. 2019 18:50

merci beacoup

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