Ordre développement limité

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Ordre d'un développement limité

Message par Loser » 01 déc. 2019 12:41

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal à saisir le fonctionnement des ordres dans les développements limités en générale. Par exemple, pour sinus de x en 0, la formule donnée est $ x−\frac{x^3}{3!}+···+(−1)^n*\frac{x^{2n+1}}{(2n+ 1)!}+ O(x^{2n+3}) $

Ainsi donc, à l'ordre 3 en 0, on a (normalement), $ x−\frac{x^3}{6}+o(x^3) $ .
Ce que je ne saisis pas car d'après la "formule", la puissance du reste est à élever au rang 2n+3, ici n=3 si je ne me trompe pas et donc 2*3+3=9 ?? Je sais que c'est complétement faux mais je ne comprends pas exactement pourquoi.

Pour faire court, je ne vois pas, concrètement, de quoi dépend la puissance du résultat sur un développement limité. Et encore moins lorsqu'il s'agit de faire des opérations avec. (Par exemple au hasard, $ e^x*\sqrt{1+x} $ à l'ordre 3, il faut multiplier les deux restes ? Je saisi mal les opérations sur les epsilons etc etc) .

Si quelqu'un pouvait m'éclairer la dessus. Merci.

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Ordre développement limité

Message par Loser » 01 déc. 2019 12:48

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal à saisir le fonctionnement des ordres dans les développements limités en générale. Par exemple, pour sinus de x en 0, la formule donnée est $ x−\frac{x^3}{3!}+···+(−1)^n*\frac{x^{2n+1}}{(2n+ 1)!}+ O(x^{2n+3}) $

Ainsi donc, à l'ordre 3 en 0, on a (normalement), $ x−\frac{x^3}{6}+o(x^3) $ .
Ce que je ne saisis pas car d'après la "formule", la puissance du reste est à élever au rang 2n+3, ici n=3 si je ne me trompe pas et donc 2*3+3=9 ?? Je sais que c'est complétement faux mais je ne comprends pas exactement pourquoi.

Pour faire court, je ne vois pas, concrètement, de quoi dépend la puissance du résultat sur un développement limité. Et encore moins lorsqu'il s'agit de faire des opérations avec. (Par exemple au hasard, $ e^x*\sqrt{1+x} $ à l'ordre 3, il faut multiplier les deux restes ? Je saisi mal les opérations sur les epsilons etc etc) .

Si quelqu'un pouvait m'éclairer la dessus. Merci.

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Re: Ordre d'un développement limité

Message par Calli » 01 déc. 2019 14:10

Bonjour,
Dans ton exemple avec $x−\frac{x^3}{6}+o(x^3)$, $2n+1=3$, donc $n=1$ et non $3$. Le reste est donc un $O(x^{2n+3}) = O(x^5) = o(x^3)$. Les deux formules sont cohérentes.
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Re: Ordre d'un développement limité

Message par autobox » 01 déc. 2019 18:28

Bien que ce ne soit pas très précisément ça, il faut y penser comme suit :
- un o(g) est une fonction f tq f/g tend vers 0
- un O(g) est une fontion f tq f <= C.g avec C une constante

Pour les puissances, ça te fait :
$ O(x^a)O(x^b) \leq C_a x^a C_bx^b \leq C_aC_b x^{a+b} $ donc $ O(x^a)O(x^b) = O(x^{a+b}) $
$ \dfrac{o(x^a)o(x^b)}{x^{a+b}} = \dfrac{o(x^a)}{x^a} \dfrac{o(x^b)}{x^b} \longrightarrow 0\times 0 = 0 $ donc $ o(x^a)o(x^b) = o(x^{a+b}) $


En utilisant ça, tu vas pouvoir développer des produits de DL (en stoppant au bon ordre, pour éviter des calculs inutiles) :

Comme $ x^k = O(x^4) $ pour $ k\geq 4 $ au voisinage de 0 (car $ x^{k-4} $ tend vers 0 ou 1, donc est borné) :
$ e^x\sqrt{1+x} = \left(1+x+\frac{x^2}2 +\frac{x^3}6 + O(x^4)\right)\left(1+\frac{x}2-\frac{x^2}8 +\frac{x^3}{16} + O(x^4)\right)\\
= 1+\frac{x}2-\frac{x^2}8 +\frac{x^3}{16} + O(x^4) + x + \frac{x^2}2 - \frac{x^3}8 + \frac{x^2}2 + \frac{x^3}4 + \frac{x^3}6\\
= 1 + \frac32 x + \frac78 x^2 + \frac{17}{48} x^3 + O(x^4)
$

Parfois se produisent des simplifications qui font que le terme de plus haut degré disparait. Dans ce cas il faudra pousser le DL d'un des facteurs (ou les deux) un cran plus loin.

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Re: Ordre développement limité

Message par Quadriviuum Tremens » 01 déc. 2019 19:16

Dans cette formule, n'ordre n'est pas n mais 2n+1. Du coup, quand tu fait le développement limité à l'ordre 3, tu calcules les termes jusqu'à que 2n+1 soit égal à 3. C'est au delà que tu places le petit o.
Notre chaîne youtube de mathématiques : https://www.youtube.com/c/QuadriviuumTremens

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