Exo sur les suites

[Wilfried]

Soit la suite a(n) où a(n) est l'unique solution en x de x + ln(x)= n. on a : a(1)=1.
Démontrer que la suite a(n) est strictement croissante.

Je ne vois pas quelle méthode utiliser . Pouvez-vous m'aider ?

[David.Lecomte]

Je ne vois pas quelle méthode utiliser :( . Pouvez-vous m'aider ?

Le sens de variation de la fonction $ f:x\mapsto x+\ln x $ va certainement servir.

[Wilfried]

Il faudrait partir de f^-1(n)=a(n) avec f^-1 (stt croissante) l'application réciproque de f ?

[Mû]

Il faudrait partir de f^-1(n)=a(n) avec f^-1 (stt croissante) l'application réciproque de f ?

C'est ce qui est suggéré, avec toutes les précautions d'usage: étudier cette fonction et montrer que c'est une bijection strictement croissante entre deux intervalles I et J que l'on précisera.
On pourra alors affirmer que l'application $ f^{-1} $ est bien définie de J dans I et strictement croissante.
Remarque: on peut démontrer des propriétés de $ f^{-1} $, comme le fait qu'elle soit bien définie sur l'intervalle J que l'on précisera et strictement croissante, sans pour autant avoir une formule "explicite" pour l'écrire.

[Wilfried]

Merci