transformée de fourier en 2 dimensions

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transformée de fourier en 2 dimensions

Message par sunmat » 27 janv. 2008 11:23

Bonjour,
à titre de recherche perso, je me pose la question suivante :
soit f une fonction de deux variables réelles à valeur réelle, comment peut-on définir sa transformée de fourier Ff(s,t) ?
Merci de votre aide !
(dans la pratique c'est pour un traitement d'image que je cherche ça, donc la fonction f est une fonction de [[0;27]]*[[0;27]] ---> [[0...255]] qui a (x,y) associe la valeur de gris du pixel de l'image en (x,y), image de 28*28 pixels)
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Message par henri » 27 janv. 2008 12:08

ben tu peux poser $ \hat{f}(\xi) = \iint_{\mathbb{R}^2} f(u) e^{i \xi . u} \lambda_2(\mathrm{d}u) = \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) e^{i \xi . (x,y)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y $ où le point désigne le produit scalaire habituel.

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Message par sunmat » 27 janv. 2008 12:16

Merci beaucoup, c'est parfait ! :D
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Message par Flyrik » 27 janv. 2008 12:22

J'ai vu la transformée de Fourier dans $ \mathbb{R}^{n} $ cette année et dans mon cours il y a un "moins" dans l'exponentielle... $ e^{-i \xi . X} \textrm{pour }(X,\xi)\in({\mathbb{R}^{n}})^{2} $ :?

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Message par henri » 27 janv. 2008 12:45

Flyrik a écrit :J'ai vu la transformée de Fourier dans $ \mathbb{R}^{n} $ cette année et dans mon cours il y a un "moins" dans l'exponentielle... $ e^{-i \xi . X} \textrm{pour }(X,\xi)\in({\mathbb{R}^{n}})^{2} $ :?
tu confonds pas avec la transformée de Laplace où il y a bien un "-" mais pas de "i"?
En ce qui me concerne, je suis absolument sûr qu'il n'y a pas de moins. (cf. tout cours d'intégration/proba ou sur les distributions)

edit : sur wikipedia il y a effectivement un moins, donc il n'y a apparemment pas de convention universelle. De toute façon, ça ne change pas grand chose...

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Message par bourricot » 27 janv. 2008 13:21

Je crois que Flyrik a raison : la transformée de Fourier est généralement définie avec un -, tandis que la transformée inverse est avec un + (et bien sûr fchapeau à la place de f sous l'intégrale).
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Message par » 27 janv. 2008 15:53

"Moins", pas "moins", facteur 2 pi ou pas dans l'intégrale, il y a plein de façons de définir la transformée de Fourier.

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Message par sunmat » 27 janv. 2008 16:46

Dans tous les cas la transformée inverse, je l'obtiens en mettant un - si je n'en avais pas mis, et en l'enlevant si je l'avais mis, c'est ça ?
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Message par bourricot » 27 janv. 2008 18:43

sunmat a écrit :Dans tous les cas la transformée inverse, je l'obtiens en mettant un - si je n'en avais pas mis, et en l'enlevant si je l'avais mis, c'est ça ?
Oui c'est ça. Dans un cas tu auras f sous l'intégrale pour obtenir la transformée de Fourier fchapeau, et dans l'autre tu auras fchapeau sous l'intégrale pour obtenir f. Attention à d'éventuels coefficients (2Pi ou T ou omega...).

En ce qui concerne le signe moins ou pas, en fait je pense que ça dépend de l'utilisateur, et notamment s'il veut faire une analyse en temps ou en fréquence. Un spécialiste en traitement du signal (un IENAC L devrait faire l'affaire :wink:) pourra certainement nous en dire plus.
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Message par Flyrik » 27 janv. 2008 20:12

bourricot a écrit :En ce qui concerne le signe moins ou pas, en fait je pense que ça dépend de l'utilisateur, et notamment s'il veut faire une analyse en temps ou en fréquence. Un spécialiste en traitement du signal (un IENAC L devrait faire l'affaire :wink:) pourra certainement nous en dire plus.
:lol: :roll:
En fait, lorsqu'on "traite" un signal $ X $ dépendant du temps t, on s'intéresse souvent à son spectre en fréquence : il s'agit du tracé de la courbe $ \omega \rightarrow \hat{X}(\omega) $, où $ \omega $ est la pulsation.
Je suis un peu novice en traitement du signal...:oops: (les cours spécifiques aux IENAC L , ie traitement and co, ne démarrent qu'au second semestre, ie dans deux, trois semaines !)
D'ailleurs, ça n'aide pas vraiment Sunmat (:roll:), dont le problème ne dépend pas d'une unique variable (temporelle) mais de plusieurs variables spatiales. Le plus important est d'assurer la cohérence de tes définitions, ie si on met un "-", on en met plus dans la transformée inverse...

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