Développements limités

[fusion froide]

salut, je suis entrain de faire un exo sur les DL, et qui me pose quelques problèmes :

$ f(x) = \frac{1-x+xln(x)}{x(ln(x))^2} $

1) montrer que f admet en $ x_0 = 1 $ un prolongement par continuité et que prolongement encore noté f est dérivable en $ x_0 $.

2) Détérminer alors la position locale de $ C_f $ par rapport à sa tangente en $ x_0 $.

Merci
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Ce que j'ai fais :

1) on pose :

$ N(x) = 1-x+xln(x) $ et on cherche un DL de N(x) à l'ordre 4
$ D(x) = x(ln(x))^2 $ et on cherche un DL de D(x) à l'ordre 2
$ h = x-1 $ ==> $ x = 1+h $

$ N(x) = 1-(h+1)+(h+1)ln(h+1) = 1-(h+1)+(h+1)(h+h^2+h^3+h^4+0(h^4)) = 2h^2+2h^3+2h^4+h^5 = 2(h+h^2+h^3+h^4)+O(h^4) $


$ D(x)=(h+1)(h+h^2+O(h^2))^2 = h^5+3h^4+3h^3+h^2+O(h^5) = h^2+O(h^2) $

donc :

$ \frac{N(x)}{D(x)} = \frac{2(h+h^2+h^3+h^4)}{h^2} = \frac{2(1+h+h^2+h^3)}{h} $

Je me demande si je ne me trompe pas, vu la forme finale de ce DL

[Jean Starynkévitch]

$ N(x) = 1-(h+1)+(h+1)ln(h+1) = 1-(h+1)+(h+1)(h+h^2+h^3+h^4+0(h^4)) = 2h^2+2h^3+2h^4+h^5 = 2(h+h^2+h^3+h^4)+O(h^4) $ [...]
Je me demande si je ne me trompe pas, vu la forme finale de ce DL

La dernière égalité ci-dessus peut-être

[fusion froide]

en fait je me suis completement trompé pour le Dl de ln(1+x)

en fait je me suis completement trompé pour le DL de $ ln(1+x) $

$ 4$N(x) = 1-x+xln(x) = 1-(h+1)+(h+1)ln(h+1) = 1-(h+1)+(h+1)(h-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{3}-\frac{h^4}{4})+ o(h^4)=\frac{h^4}{12}-\frac{h^3}{6}+\frac{h^2}{2}+o(h^4) $

$ 4$D(x) = x(ln(x))^2 = (h+1)(h-\frac{h^2}{2})^2=h^2 $

et $ 4$\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{h^2}{12}-\frac{h}{6}+\frac{1}{2} $

donc $ f(x) $ est continue en $ x_0 = 1 $ et $ f(1) = +\frac{1}{2} $ et f'(1) = $ -\frac{1}{6} $