sujets d'oraux
Début :gardener a écrit :Il faut décrire précisément l'ensemble (qui n'est pas si gros que ça).
Petite indication (que l'examinateur m'avait donnée d'entrée) : commencer par le cas $ | \lambda | > 1 $
on appliquant n fois f on obtient :
f( a^n x + b(1+a+a^2 + + a^n-1)) = (lamda)^n f(x)
soit f( a^n x + 1)= lamda^n f(x)
a x fixé 00 et si !lambda!>1 la forme indéterminée f(1) / infini ne peut se résoudre que par f(x)=0
donc f=0
Bonsoir,
Je m'essaie à une solution.
Pour le cas $ 1 \leq | \lambda | $, il semblerait que la réponse ait été donnée précédemment.
Si $ | \lambda | < 1 $, comme f est indéfiniment dérivable, on a :
$ \forall k \in \mathbb{N}, a^k f^{(k)}(ax+b) = \lambda f^{(k)}(x) $
Comme a est strictement inférieur à 1, il existe un k tel que $ a^k \leq | \lambda | $. En divisant par a^k l'équation précédente, on est ramené au cas où $ 1 \leq | \lambda | $, mais avec $ f^{(k)} $.
Donc $ f^{(k)} = 0 $, et f est un polynôme dont on peut déterminer de manière unique chaque coefficient par la relation : $ \forall k \in \mathbb{N}, a^k f^{(k)}(ax+b) = \lambda f^{(k)}(x) $.
Je m'essaie à une solution.
Pour le cas $ 1 \leq | \lambda | $, il semblerait que la réponse ait été donnée précédemment.
Si $ | \lambda | < 1 $, comme f est indéfiniment dérivable, on a :
$ \forall k \in \mathbb{N}, a^k f^{(k)}(ax+b) = \lambda f^{(k)}(x) $
Comme a est strictement inférieur à 1, il existe un k tel que $ a^k \leq | \lambda | $. En divisant par a^k l'équation précédente, on est ramené au cas où $ 1 \leq | \lambda | $, mais avec $ f^{(k)} $.
Donc $ f^{(k)} = 0 $, et f est un polynôme dont on peut déterminer de manière unique chaque coefficient par la relation : $ \forall k \in \mathbb{N}, a^k f^{(k)}(ax+b) = \lambda f^{(k)}(x) $.
Faux.
Le développement de Taylor d'une fonction ne converge pas forcément vers la fonction.
De plus on a pas forcément f^(n) (1)=0 pour tout n. Mais tu brûles ^^[/quote]
oui tu as raison :
si qlq soit k lambda # a^k alors toutes les dérivées au point 1 s'annulent , et sinon au plus une ne s'annule pas .
Après pour la convergence de la série de Taylor tu as aussi raison elle n'est pas assurée ( la fonction est Cinfini mais pas forcément développable en série entière !
Mais il me semble que MFred a donné une bonne solution pour !lamda ! <1 donc les solutions sont des polynômes donc nécessairement de la forme (x-1)^k ou f=0
Reste les deux cas lamda=1 et -1 ...
Le développement de Taylor d'une fonction ne converge pas forcément vers la fonction.
De plus on a pas forcément f^(n) (1)=0 pour tout n. Mais tu brûles ^^[/quote]
oui tu as raison :
si qlq soit k lambda # a^k alors toutes les dérivées au point 1 s'annulent , et sinon au plus une ne s'annule pas .
Après pour la convergence de la série de Taylor tu as aussi raison elle n'est pas assurée ( la fonction est Cinfini mais pas forcément développable en série entière !
Mais il me semble que MFred a donné une bonne solution pour !lamda ! <1 donc les solutions sont des polynômes donc nécessairement de la forme (x-1)^k ou f=0
Reste les deux cas lamda=1 et -1 ...