N'oublions pas qu'on a visiblement Elambda un espace vectoriel.
Pour lambda = +/- 1 en fait la solution n'est guère différente.
Voila en gros l'exo est terminé :p
sujets d'oraux
Ah oui, désolégardener a écrit :Déja, la réponse donnée précédemment n'est valable que pour $ | \lambda | > 1 $,et non$ \geq $, ça a son importance.
Cependant, le raisonnement reste le même non ? On traite le cas $ | \lambda | > 1 $, puis pour $ | \lambda | \leq 1 $ il suffit de diviser par $ a^{k+1} $ au lieu de $ a^k $ dans le raisonnement précedent, pour avoir $ | \frac{\lambda}{a^{k+1}} | > 1 $. D'ailleurs, pour $ | \lambda | = 1 $, il suffit de dériver une fois : on trouve alors $ f' = 0 $, soit f constante (nulle pour $ \lambda = -1 $).
?Pour un sup "calé" alorsgardener a écrit :niveau sup
On peut faire semblant de ne pas connaitre le théorème.
1,A², .., A^n, ... est forcément liée donc on a des polynômes P tels que P(A)=0. On prend un polynôme non nul de degré le plus petit (renoncer à ses idéaux ici aussi).
P(X) = a_0 + X*Q(X)
Si a_0 = 0 on peut factoriser et "simplifier" par A (inversible) et obtenir un polynôme de degré plus petit. Donc a_0 est non nul. L'inverse de A c'est -Q(A)/a_0.
Bon, une "suite" (peu taupinesque, mais allez savoir) :
(p_i) la suite croissante des nombres premiers
1- $ \sum_1^\infty 1/p_i = + \infty $ (très classique)
2- $ \sum_1^n 1/p_i $ n'est jamais un entier (en admettant un résultat très connu)
3- tout nombre réel > 0 peut s'écrire $ \sum_1^\infty 1/p_{\phi(i)} $ pour une suite extraite ad-hoc.
4- $ \sum_1^\infty 1/p_i! \in \mathbb{Q} $ ????
(p_i) la suite croissante des nombres premiers
1- $ \sum_1^\infty 1/p_i = + \infty $ (très classique)
2- $ \sum_1^n 1/p_i $ n'est jamais un entier (en admettant un résultat très connu)
3- tout nombre réel > 0 peut s'écrire $ \sum_1^\infty 1/p_{\phi(i)} $ pour une suite extraite ad-hoc.
4- $ \sum_1^\infty 1/p_i! \in \mathbb{Q} $ ????
Dernière modification par ThSQ le 08 mars 2008 16:48, modifié 2 fois.