Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
fusion froide

Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt

Message par fusion froide » 05 juin 2008 22:08

salut.

J'ai du mal à comprendre le Procédé d'orthonormalisation de Schmidt, enfin de point de vu théorique. J'aimerais bien voir comment ça marche sur un exemple concret si quelqu'un peut m'aider.

Par exemple :

Soit $ E = \mathbb {R}[X] $ un ev des polynômes de degré inférieur ou égale à 2. E est munit du produit scalaire $ (P/Q) = \int_{-1}^{1} PQdX $. Orthonormaliser la base canonique $ (1,X,X^2) $.

il s'agit de faire quoi au juste ? calculer la norme de chacun des vecteur et puis....?

Merci.

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Message par gardener » 05 juin 2008 22:22

Le procédé d'orthonormalisation de schmitt consiste, une fois qu'on a une base f1..fn orthonormale d'un sev, et qu'on veut transformer la base f1,...,fn,e(n+1) du sev engendré par f1,...,fn,en+1 (avec en+1 qui n'appartient pas au sev engendré par f1..fn) en base orthonormée f1...fn,fn+1 de poser :
fn+1 = g / (norme de g) où
$ g=e_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} (f_{i}|e_{n+1})f_{i} $

(Vérifie que le g construit comme ça marche)

Tu n'as qu'à appliquer ce principe pour ta famille (1,X,X²). Donc tu commences par poser f1 = 1 / (norme de 1) (avec 1 le vecteur 1, pas le scalaire)
puis tu as e2=X et tu appliques le procédé décrit au dessus. Etc...
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fusion froide

Message par fusion froide » 05 juin 2008 22:39

ok !

Par exemple soit $ P_0 \in (1), P_1 \in (1,X), P_2 \in (1,X,X^2) $

$ P_0 = 1 $ de norme $ (P_0/P_0) = sqrt{\int_{-1}^{1} dX} = sqrt{2} $.

on pose $ e_1 = \frac{1}{sqrt{2}} $.

est ce que la rédaction vous semble juste ?

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Message par gardener » 05 juin 2008 22:42

Oups, tu voulais une explication pratique et pas théorique...
Bon je vais t'aider :
on a e1=1
Calculons la norme de e1 : $ ||e_{1}|| = \sqrt{(1|1)} = \sqrt{\int_{-1}^{1} 1 dt} = \sqrt{2} $
Tu poses donc $ f_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Ensuite tu as e2=X
On pose $ g_2 = X - (\int_{-1}^{1} t.\frac{1}{\sqrt{2}} dt )\frac{1}{\sqrt{2}} $
Puis $ f_{2} = \frac{g_2}{||g_2||} $
Etc..
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Message par gardener » 05 juin 2008 22:43

Pardon, je n'avais pas vu ton message.
Tu as compris le principe, essaie de terminer.
Par contre la première ligne que tu as écrite est curieuse...!
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fusion froide

Message par fusion froide » 05 juin 2008 23:08

gardener a écrit :Ensuite tu as e2=X
On pose $ g_2 = X - (\int_{-1}^{1} t.\frac{1}{\sqrt{2}} dt )\frac{1}{\sqrt{2}} $
on est sensé poser $ g_2 = X - $ et donc $ g_2 = X - (\int_{-1}^{1} X.\frac{1}{\sqrt{2}} dX ) $ non ?

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Message par gardener » 05 juin 2008 23:43

Tu veux que que g2 soit orthogonal à e1.
(g2.e1) = (X.e1) - (X.e1)(e1.e1) or e1 est de norme 1, donc ça fait bien 0.
Si on pose g2 comme tu l'as écrit, on trouve g2.e1 = (X.e1)-(X.e1)(1.e1), or comme on l'a vu (1.e1) n'est pas égal à 1 mais à racine de 2 !!

Tu comprends?

(bon ici, il se trouve que X.e1 = 0 donc g2=X tout simplement et même ta formule fausse marche).

Dans la formule générale que je t'ai écrite : $ g=e_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} (f_{i}|e_{n+1})f_{i} $
Il y a bien un $ f_{i} $ à droite
Calculons (g|fj) pour tout j entre 1 et n :

$ (g|f_{j})=(e_{n+1}|f_{j}) - \sum_{i=1}^{n} (f_{i}|e_{n+1})(f_{i}|f_{j}) $ Or pour i différent de j, $ (f_{i}|f_{j})= 0 $
Donc :$ (g|f_{j})=(e_{n+1}|f_{j}) - (f_{j}|e_{n+1})(f_{j}|f_{j}) $ Comme (f1...fn) est orthonormale; les fi sont de norme 1, donc $ (f_{j}|f_{j}) = 1 $, et tu obtiens que g est bien orthogonal à chacun des fi.
il te suffit ensuite de poser fn+1 = g / norme de g pour obtenir que f1..fn+1 est orthonormale.
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fusion froide

Message par fusion froide » 06 juin 2008 00:05

ok !

Ensuite on a e2=X
On pose $ g_2 = X - (\int_{-1}^{1} X.\frac{1}{\sqrt{2}} dX )\frac{1}{\sqrt{2}} = X $

Puis $ ||g_2|| = sqrt{\int_{-1}^{1} X^2dX $ $ = \frac{2}{3} $

Puis $ f_{2} = \frac{g_2}{||g_2||} = sqrt{\frac{3}{2}}X $
Dernière modification par fusion froide le 06 juin 2008 00:50, modifié 2 fois.

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Message par gardener » 06 juin 2008 00:16

T'as oublié la racine...
Reste f3.
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fusion froide

Message par fusion froide » 06 juin 2008 00:35

sinon, pour e3 = X^2

je trouve $ f_3 = \frac{sqrt{3}X^2}{sqrt{2}} $

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