Corps des nombres algébriques

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Corps des nombres algébriques

Message par Valvino » 08 nov. 2008 19:20

Bonjour à toutes et à tous.

L'ensemble $ \mathbb{A} $ des nombres algébriques défini par
$ \mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ /\ \exists P \in \mathbb{Z}[X],\ \deg P \geq 1,\ P(x)=0\} $
a une structure de corps. J'ai essayé de le démontrer "à la main", c'est-à-dire en évitant l'artillerie lourde de la théorie de Galois, mais c'est franchement pas évident. Ne serait-ce que sur l'exemple tout simple $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $, un polynôme à coefficients entiers qui l'annule ne saute pas aux yeux...

Est-il donc possible de le montrer de manière "élémentaire", c'est-à-dire en restant plus ou moins dans le programme de sup'/spé?

Merci d'avance!

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Re: Corps des nombres algébriques

Message par MFred » 08 nov. 2008 19:45

Salut,

Heureuse coincidence, notre prof nous l'a fait ce matin, à la suite du sujet d'X 1998. Je te donne les étapes du raisonnement (plutôt sous forme de questions).

Si $ \alpha $ est un complexe et K un sous-corps de $ \mathbb{C} $, on note $ K[\alpha] $ le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{C} $ contenant K et $ \alpha $ ; de même, $ K[\alpha, \beta] $ est le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{C} $ contenant K, $ \alpha $ et $ \beta $.
- Montrer que $ \alpha $ est algébrique si, et seulement si, $ \mathbb{Q}[\alpha] $ est, en tant que $ \mathbb{Q} $ espace vectoriel, de dimension finie. Montrer qu'alors, $ \mathbb{Q}[\alpha] $ est un corps.
- Si $ \alpha, \beta $ sont des complexes, montrer que $ \mathbb{Q}[\alpha, \beta] = \mathbb{Q}[\alpha}][\beta] $.
- Si $ \alpha, \beta $ sont des algébriques, en remarquant que $ \beta $ est racine d'un polynôme à coefficents dans $ \mathbb{Q}[\alpha] $, remarquer que $ \mathbb{Q}[\alpha}][\beta] $ est de dimension finie en tant que $ \mathbb{Q}[\alpha] $ espace vectoriel.
- En remarquant que $ \mathbb{Q}[\alpha + \beta] $ et $ \mathbb{Q}[\alpha \beta] $ sont inclus dans $ \mathbb{Q}[\alpha][\beta] $, conclure.

Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
Ancien taupin (2006-2009) - Lycée Montaigne, Bordeaux (MPSI2, MP1, MP1)
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Re: Corps des nombres algébriques

Message par ThSQ » 08 nov. 2008 22:25

Une autre façon de faire, plus "constructive" :

x et y deux éléments algébriques racines de $ P = \prod_i (X - x_i) $ et $ Q = \prod_j (X - y_i) $

Alors x+y est racines du polynôme $ \prod_{i,j} (X - (x_i + y_j)) $ et ce polynôme est à coefficients dans $ \mathbb{Q} $, ça se voit en remarquant qu'ils s'expriment en fonction des polynômes symétriques.

Alors x*y est racines du polynôme $ \prod_{i,j} (X - (x_i * y_j)) $ et ce polynôme est aussi à coefficients dans $ \mathbb{Q} $

Par exemple pour $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $ : $ (X -(\sqrt{2}+\sqrt{3})(X -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $$ (X -(-\sqrt{2}+\sqrt{3})(X -(-\sqrt{2}-\sqrt{3}) = X^4 - 10 X^2 + 1 $ (comme il est irréductible au passage, $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $ est de degré 4 sur $ \mathbb{Q} $)

(on travaille dans Q mais c'est pareil)
Modifié en dernier par ThSQ le 09 nov. 2008 09:54, modifié 1 fois.

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Re: Corps des nombres algébriques

Message par ThSQ » 08 nov. 2008 22:30

MFred a écrit :Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
Je crois bien que c'est toujours vrai : le corps des éléments algébrique sur un corps est sa propre clôture algébrique.

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Re: Corps des nombres algébriques

Message par henri » 11 nov. 2008 18:48

Valvino a écrit :Bonjour à toutes et à tous.

L'ensemble $ \mathbb{A} $ des nombres algébriques défini par
$ \mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ /\ \exists P \in \mathbb{Z}[X],\ \deg P \geq 1,\ P(x)=0\} $
a une structure de corps. J'ai essayé de le démontrer "à la main", c'est-à-dire en évitant l'artillerie lourde de la théorie de Galois, mais c'est franchement pas évident. Ne serait-ce que sur l'exemple tout simple $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $, un polynôme à coefficients entiers qui l'annule ne saute pas aux yeux...

Est-il donc possible de le montrer de manière "élémentaire", c'est-à-dire en restant plus ou moins dans le programme de sup'/spé?

Merci d'avance!
C'est pas de la théorie de Galois dont tu as besoin mais seulement de savoir ce qu'est un module de type fini (équivalent d'un ev de dimension finie). Ainsi, avec la terminologie que tu introduis, un nombre complexe $ x $ est algébrique si et seulement si le module $ \mathbb{Z}[x] $ engendré par $ x $ est de type fini, c'est à dire s'écrit $ \bigsum \mathbb{Z}x_i $ où les $ x_i\in \mathbb{\C} $ sont en nombre fini.
Tu peux alors montrer que cette condition est équivalent à dire qu'il existe un sous-anneau de $ \mathbb C $ contenant $ x $ qui soit un $ \mathbb Z $-module de type fini.

Alors, si $ x,y $ sont deux entiers algébriques, $ \mathbb Z[x,y] $ est un quotient de $ \mathbb{Z}[x]\otimes\mathbb{Z}[y] $, donc est un module de type fini sur $ \mathbb Z $ contenant $ x+y,x-y,xy $... et voilà.

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Re: Corps des nombres algébriques

Message par dSP » 11 nov. 2008 19:38

ThSQ a écrit :
MFred a écrit :Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
Je crois bien que c'est toujours vrai : le corps des éléments algébrique sur un corps est sa propre clôture algébrique.
Les éléments algébriques en question, on les
prend où exactement ?
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Re: Corps des nombres algébriques

Message par dSP » 11 nov. 2008 19:40

C'est pas de la théorie de Galois dont tu as besoin mais seulement de savoir ce qu'est un module de type fini (équivalent d'un ev de dimension finie).
Non, il n'a pas besoin de la notion de module : on ne parle
pas ici des entiers algébriques.
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Re: Corps des nombres algébriques

Message par henri » 11 nov. 2008 19:42

ah désolé, j'avais cru que le polynôme annulateur était unitaire à coeff entiers. A ce moment là, oui, c'est de l'algèbre linéaire de spé avec des Q-ev.

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Re: Corps des nombres algébriques

Message par » 14 nov. 2008 13:35

Indication: montrer que x appartient à A si, et seulement si, Q[x] est de dimension finie sur Q.

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Re: Corps des nombres algébriques

Message par Ragoudvo » 16 nov. 2008 18:40

Une indication de Mû, c'est la classe ! ;)

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