Corps des nombres algébriques
Corps des nombres algébriques
Bonjour à toutes et à tous.
L'ensemble $ \mathbb{A} $ des nombres algébriques défini par
$ \mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ /\ \exists P \in \mathbb{Z}[X],\ \deg P \geq 1,\ P(x)=0\} $
a une structure de corps. J'ai essayé de le démontrer "à la main", c'est-à-dire en évitant l'artillerie lourde de la théorie de Galois, mais c'est franchement pas évident. Ne serait-ce que sur l'exemple tout simple $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $, un polynôme à coefficients entiers qui l'annule ne saute pas aux yeux...
Est-il donc possible de le montrer de manière "élémentaire", c'est-à-dire en restant plus ou moins dans le programme de sup'/spé?
Merci d'avance!
L'ensemble $ \mathbb{A} $ des nombres algébriques défini par
$ \mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ /\ \exists P \in \mathbb{Z}[X],\ \deg P \geq 1,\ P(x)=0\} $
a une structure de corps. J'ai essayé de le démontrer "à la main", c'est-à-dire en évitant l'artillerie lourde de la théorie de Galois, mais c'est franchement pas évident. Ne serait-ce que sur l'exemple tout simple $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $, un polynôme à coefficients entiers qui l'annule ne saute pas aux yeux...
Est-il donc possible de le montrer de manière "élémentaire", c'est-à-dire en restant plus ou moins dans le programme de sup'/spé?
Merci d'avance!
Re: Corps des nombres algébriques
Salut,
Heureuse coincidence, notre prof nous l'a fait ce matin, à la suite du sujet d'X 1998. Je te donne les étapes du raisonnement (plutôt sous forme de questions).
Si $ \alpha $ est un complexe et K un sous-corps de $ \mathbb{C} $, on note $ K[\alpha] $ le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{C} $ contenant K et $ \alpha $ ; de même, $ K[\alpha, \beta] $ est le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{C} $ contenant K, $ \alpha $ et $ \beta $.
- Montrer que $ \alpha $ est algébrique si, et seulement si, $ \mathbb{Q}[\alpha] $ est, en tant que $ \mathbb{Q} $ espace vectoriel, de dimension finie. Montrer qu'alors, $ \mathbb{Q}[\alpha] $ est un corps.
- Si $ \alpha, \beta $ sont des complexes, montrer que $ \mathbb{Q}[\alpha, \beta] = \mathbb{Q}[\alpha}][\beta] $.
- Si $ \alpha, \beta $ sont des algébriques, en remarquant que $ \beta $ est racine d'un polynôme à coefficents dans $ \mathbb{Q}[\alpha] $, remarquer que $ \mathbb{Q}[\alpha}][\beta] $ est de dimension finie en tant que $ \mathbb{Q}[\alpha] $ espace vectoriel.
- En remarquant que $ \mathbb{Q}[\alpha + \beta] $ et $ \mathbb{Q}[\alpha \beta] $ sont inclus dans $ \mathbb{Q}[\alpha][\beta] $, conclure.
Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
Heureuse coincidence, notre prof nous l'a fait ce matin, à la suite du sujet d'X 1998. Je te donne les étapes du raisonnement (plutôt sous forme de questions).
Si $ \alpha $ est un complexe et K un sous-corps de $ \mathbb{C} $, on note $ K[\alpha] $ le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{C} $ contenant K et $ \alpha $ ; de même, $ K[\alpha, \beta] $ est le plus petit sous-anneau de $ \mathbb{C} $ contenant K, $ \alpha $ et $ \beta $.
- Montrer que $ \alpha $ est algébrique si, et seulement si, $ \mathbb{Q}[\alpha] $ est, en tant que $ \mathbb{Q} $ espace vectoriel, de dimension finie. Montrer qu'alors, $ \mathbb{Q}[\alpha] $ est un corps.
- Si $ \alpha, \beta $ sont des complexes, montrer que $ \mathbb{Q}[\alpha, \beta] = \mathbb{Q}[\alpha}][\beta] $.
- Si $ \alpha, \beta $ sont des algébriques, en remarquant que $ \beta $ est racine d'un polynôme à coefficents dans $ \mathbb{Q}[\alpha] $, remarquer que $ \mathbb{Q}[\alpha}][\beta] $ est de dimension finie en tant que $ \mathbb{Q}[\alpha] $ espace vectoriel.
- En remarquant que $ \mathbb{Q}[\alpha + \beta] $ et $ \mathbb{Q}[\alpha \beta] $ sont inclus dans $ \mathbb{Q}[\alpha][\beta] $, conclure.
Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
Re: Corps des nombres algébriques
Une autre façon de faire, plus "constructive" :
x et y deux éléments algébriques racines de $ P = \prod_i (X - x_i) $ et $ Q = \prod_j (X - y_i) $
Alors x+y est racines du polynôme $ \prod_{i,j} (X - (x_i + y_j)) $ et ce polynôme est à coefficients dans $ \mathbb{Q} $, ça se voit en remarquant qu'ils s'expriment en fonction des polynômes symétriques.
Alors x*y est racines du polynôme $ \prod_{i,j} (X - (x_i * y_j)) $ et ce polynôme est aussi à coefficients dans $ \mathbb{Q} $
Par exemple pour $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $ : $ (X -(\sqrt{2}+\sqrt{3})(X -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $$ (X -(-\sqrt{2}+\sqrt{3})(X -(-\sqrt{2}-\sqrt{3}) = X^4 - 10 X^2 + 1 $ (comme il est irréductible au passage, $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $ est de degré 4 sur $ \mathbb{Q} $)
(on travaille dans Q mais c'est pareil)
x et y deux éléments algébriques racines de $ P = \prod_i (X - x_i) $ et $ Q = \prod_j (X - y_i) $
Alors x+y est racines du polynôme $ \prod_{i,j} (X - (x_i + y_j)) $ et ce polynôme est à coefficients dans $ \mathbb{Q} $, ça se voit en remarquant qu'ils s'expriment en fonction des polynômes symétriques.
Alors x*y est racines du polynôme $ \prod_{i,j} (X - (x_i * y_j)) $ et ce polynôme est aussi à coefficients dans $ \mathbb{Q} $
Par exemple pour $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $ : $ (X -(\sqrt{2}+\sqrt{3})(X -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $$ (X -(-\sqrt{2}+\sqrt{3})(X -(-\sqrt{2}-\sqrt{3}) = X^4 - 10 X^2 + 1 $ (comme il est irréductible au passage, $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $ est de degré 4 sur $ \mathbb{Q} $)
(on travaille dans Q mais c'est pareil)
Dernière modification par ThSQ le 09 nov. 2008 09:54, modifié 1 fois.
Re: Corps des nombres algébriques
Je crois bien que c'est toujours vrai : le corps des éléments algébrique sur un corps est sa propre clôture algébrique.MFred a écrit :Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
Re: Corps des nombres algébriques
C'est pas de la théorie de Galois dont tu as besoin mais seulement de savoir ce qu'est un module de type fini (équivalent d'un ev de dimension finie). Ainsi, avec la terminologie que tu introduis, un nombre complexe $ x $ est algébrique si et seulement si le module $ \mathbb{Z}[x] $ engendré par $ x $ est de type fini, c'est à dire s'écrit $ \bigsum \mathbb{Z}x_i $ où les $ x_i\in \mathbb{\C} $ sont en nombre fini.Valvino a écrit :Bonjour à toutes et à tous.
L'ensemble $ \mathbb{A} $ des nombres algébriques défini par
$ \mathbb{A}=\{ x \in \mathbb{R}\ /\ \exists P \in \mathbb{Z}[X],\ \deg P \geq 1,\ P(x)=0\} $
a une structure de corps. J'ai essayé de le démontrer "à la main", c'est-à-dire en évitant l'artillerie lourde de la théorie de Galois, mais c'est franchement pas évident. Ne serait-ce que sur l'exemple tout simple $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $, un polynôme à coefficients entiers qui l'annule ne saute pas aux yeux...
Est-il donc possible de le montrer de manière "élémentaire", c'est-à-dire en restant plus ou moins dans le programme de sup'/spé?
Merci d'avance!
Tu peux alors montrer que cette condition est équivalent à dire qu'il existe un sous-anneau de $ \mathbb C $ contenant $ x $ qui soit un $ \mathbb Z $-module de type fini.
Alors, si $ x,y $ sont deux entiers algébriques, $ \mathbb Z[x,y] $ est un quotient de $ \mathbb{Z}[x]\otimes\mathbb{Z}[y] $, donc est un module de type fini sur $ \mathbb Z $ contenant $ x+y,x-y,xy $... et voilà.
Re: Corps des nombres algébriques
Les éléments algébriques en question, on lesThSQ a écrit :Je crois bien que c'est toujours vrai : le corps des éléments algébrique sur un corps est sa propre clôture algébrique.MFred a écrit :Avec encore un peu de travail, on peut même montrer que l'ensemble des complexes algébriques est algébriquement clos.
prend où exactement ?
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Corps des nombres algébriques
Non, il n'a pas besoin de la notion de module : on ne parleC'est pas de la théorie de Galois dont tu as besoin mais seulement de savoir ce qu'est un module de type fini (équivalent d'un ev de dimension finie).
pas ici des entiers algébriques.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Corps des nombres algébriques
ah désolé, j'avais cru que le polynôme annulateur était unitaire à coeff entiers. A ce moment là, oui, c'est de l'algèbre linéaire de spé avec des Q-ev.
Re: Corps des nombres algébriques
Indication: montrer que x appartient à A si, et seulement si, Q[x] est de dimension finie sur Q.