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fonctions integrables et de carre integrable

Posté : 19 nov. 2008 15:20
par micka
bonjour ,

il est clair que les fonctions de carré integrables ne pas necessairement integrables ( ex de f(t)=1/t sur [1, infini] )

mais une fonction f integrable est-elle de carre integrable ? (integrabilité sur R tout entier )

je montre ceci quand f est bornée sur R
mais dans le cas général ?

mik

Re: fonctions integrables et de carre integrable

Posté : 19 nov. 2008 15:29
par Ragoudvo
Non ; prends par exemple f=g définie par : $ f(t)=\frac{1}{\sqrt(t)} $ sur ]0,1] et f(t)=0 partout ailleurs : f est continue par morceaux, intégrable, mais $ f^2 $ ne l'est pas !

Re: fonctions integrables et de carre integrable

Posté : 19 nov. 2008 16:41
par
Si I est un intervalle de R non borné, il n'y a aucune inclusion entre les trois espaces vectoriels suivants: fonctions intégrables, fonctions de carré intégrable, fonctions bornées.
C'est un bon exercice que de construire des contre-exemples en jouant avec les fonctions puissances.

En revanche, si I est borné, on a les inclusions borné < carré intégrable < intégrable. Exercice: le démontrer, et aussi que ces inclusions sont strictes.

Si on considère les séries réelles ou complexes, on a les inclusions inverses: si une série converge absolument alors son carré aussi et si le carré converge absolument alors le terme général est borné. Là encore les inclusions sont strictes.

Re: fonctions integrables et de carre integrable

Posté : 21 nov. 2008 22:00
par phase dancer
euh...

utiliser le fait que $ |fg| \leq \frac{f^2 + g^2}{2} $ ........