suite de cauchy et espaces complets

[micka]

bonsoir ,

un espace vectoriel F normé est complet ssi toute suite de cauchy est convergente

c'est une défintion ,
mais si F est un sous espace vectoriel de E on peut se demander si la limite de la suite de cauchy d'elements de F est elle meme un ELEMENT DE F


en d'autre terme si on veut montrer que F muni d'une norme particuliere est complet on doit prendre une suite de cauchy d'elements de F, montrer qu'elle converge et que sa limite est dans F , n'est-ce pas ?
exemple: E l'ensemble des suites reelles et F l'ensemble des suites absolument convergentes dont la norme d'un element est la somme totale de la suite considerée.


mika

[Valvino]

En dimension finie, il est vrai qu'un sev d'un evn complet est complet. C'est faux en dimension infinie (penser à des espaces de fonctions).

[Madec]

dans un espace complet , tout ensemble fermé est complet .
Et comme en dimension finie , tout sous espace F d'un espace E est un fermé c'est acquis .

exemple de démo pour ce dernier point:
soit (e1 , ...,ep) une base de F , on la complète pour obtenir une base de E ( e1,...,ep,..,en)
soit alors Xn une suite de F qui converge vers L supposons que L ne soit pas dans F
alors L = ( l1 ,...lp , ,ln) avec l'existence d'un j > p tel que lj # 0
si on prend comme norme d'un vecteur X le sup !xi !
alors qlq soit n !! Xn-L !! > !lj !
et donc !! Xn- L!! ne peut tendre vers 0
d'où L est dans F donc F est un fermé .

Nota : comme en dimension finie toutes les normes sont équivalentes , la démo précédente ne dépend pas du choix de la norme .

[Mû]

dans un espace complet , tout ensemble fermé est complet .

Et on a même la réciproque!