suite de cauchy et espaces complets

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Répondre

Messages : 98

Enregistré le : 19 mars 2008 22:15

suite de cauchy et espaces complets

Message par micka » 19 nov. 2008 22:39

bonsoir ,

un espace vectoriel F normé est complet ssi toute suite de cauchy est convergente

c'est une défintion ,
mais si F est un sous espace vectoriel de E on peut se demander si la limite de la suite de cauchy d'elements de F est elle meme un ELEMENT DE F


en d'autre terme si on veut montrer que F muni d'une norme particuliere est complet on doit prendre une suite de cauchy d'elements de F, montrer qu'elle converge et que sa limite est dans F , n'est-ce pas ?
exemple: E l'ensemble des suites reelles et F l'ensemble des suites absolument convergentes dont la norme d'un element est la somme totale de la suite considerée.


mika

Messages : 1418

Enregistré le : 31 août 2006 11:59

Re: suite de cauchy et espaces complets

Message par Valvino » 19 nov. 2008 23:11

En dimension finie, il est vrai qu'un sev d'un evn complet est complet. C'est faux en dimension infinie (penser à des espaces de fonctions).

Messages : 1401

Enregistré le : 19 juin 2007 21:01

Localisation : Toulouse

Re: suite de cauchy et espaces complets

Message par Madec » 19 nov. 2008 23:50

dans un espace complet , tout ensemble fermé est complet .
Et comme en dimension finie , tout sous espace F d'un espace E est un fermé c'est acquis .

exemple de démo pour ce dernier point:
soit (e1 , ...,ep) une base de F , on la complète pour obtenir une base de E ( e1,...,ep,..,en)
soit alors Xn une suite de F qui converge vers L supposons que L ne soit pas dans F
alors L = ( l1 ,...lp , ,ln) avec l'existence d'un j > p tel que lj # 0
si on prend comme norme d'un vecteur X le sup !xi !
alors qlq soit n !! Xn-L !! > !lj !
et donc !! Xn- L!! ne peut tendre vers 0
d'où L est dans F donc F est un fermé .

Nota : comme en dimension finie toutes les normes sont équivalentes , la démo précédente ne dépend pas du choix de la norme .

Avatar du membre

Messages : 3695

Enregistré le : 13 févr. 2004 15:11

Re: suite de cauchy et espaces complets

Message par » 20 nov. 2008 11:47

Madec a écrit :dans un espace complet , tout ensemble fermé est complet .
Et on a même la réciproque!

Répondre