Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
colis
Messages : 217
Enregistré le : dim. 22 juil. 2007 19:40
Localisation : Devant mon ordi

Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. 13 avr. 2009 18:18

Bonjour,

Partant de l'idée de Shy, avec son topic "Exos symphas MPSi" (sic !) qui est maintenant dans les oubliettes du forum, je vous propose un nouveau topic, pour ceux qui voudraient faire autre chose pendant cette période de révision (un clin d'oeil à Madec).

Au hasard, un exercice pour commencer:

Niveau intermédiaire a écrit : Existe -t-il une norme $ N $ sur $ M(n, \mathbb{C}) $ tel que pour tout $ A $ et $ B $ semblables, $ N(A)=N(B) $ ?
MP*3 LLG
X2010

Avatar du membre
Thaalos
Messages : 1931
Enregistré le : mar. 20 janv. 2009 00:21
Classe : Fini.
Localisation : Saclay

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. 13 avr. 2009 18:35

$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.
Nothing is too hard, many things are too fast.

Eti-N
Messages : 496
Enregistré le : mar. 2 mai 2006 22:17
Localisation : 78, 91 & 94

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Eti-N » lun. 13 avr. 2009 18:41

Thaalos a écrit :$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Ce qu'il faut prouver pour utiliser ton argument et conclure, c'est que si A et B sont semblables alors $ ^{t}\bar A.A $ et $ ^{t}\bar B.B $ sont également semblables.
Verba volant, scripta manent.

2005-2007 : ECS LLG
2007-2011 : HEC (dont 2007 - 2008 : L3 MASS HEC-Paris 1 & 2010-2011 : Master QEF X-HEC)

Avatar du membre
Thaalos
Messages : 1931
Enregistré le : mar. 20 janv. 2009 00:21
Classe : Fini.
Localisation : Saclay

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. 13 avr. 2009 18:45

Eti-N a écrit :
Thaalos a écrit :$ N:M_{n}(C) \rightarrow C $
$ A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A) $
C'est une norme car $ <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) $ est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Ce qu'il faut prouver pour utiliser ton argument et conclure, c'est que si A et B sont semblables alors $ ^{t}\bar A.A $ et $ ^{t}\bar B.B $ sont également semblables.

Sauf que je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Je comptais éditer mon post une fois la justification trouvée, mais je n'ai pas encore réussi à en trouver une.
Nothing is too hard, many things are too fast.

colis
Messages : 217
Enregistré le : dim. 22 juil. 2007 19:40
Localisation : Devant mon ordi

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. 13 avr. 2009 18:48

Thaalos a écrit :N:M_{n}(C) \rightarrow C
A \rightarrow tr(^{t}\bar A.A)
C'est une norme car <A,B> = tr(^{t}\bar A.B) est un produit scalaire hermitien (si ma mémoire est bonne). (mais N n'est pas la norme associée à <.,.>, ce serait plutôt la racine de N qui le serait, mais la racine d'un nombre complexe, c'est pas évident à déterminer.)
Enfin, deux matrices semblables ont même trace, donc A et B ont même norme.

Est ce que ce que tu as écrit est une réponse valable selon toi ?
A* et B* ne sont pas semblable avec une même matrice de passage que celle de A vers B. Donc ton produit scalaire ne marche clairement pas.

( Enfin, vaut mieux se relire avant de poster! )
MP*3 LLG
X2010

colis
Messages : 217
Enregistré le : dim. 22 juil. 2007 19:40
Localisation : Devant mon ordi

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. 13 avr. 2009 18:58

Thaalos a écrit :Sauf que je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Je comptais éditer mon post une fois la justification trouvée, mais je n'ai pas encore réussi à en trouver une.


Vu les pistes choisies, je ne peux que donner une indication:
hint a écrit : La réponse est (naturellement) négative en dimension supérieure ou égale à 2. (si une telle norme éxistait, elle aurait été trop belle pour qu'on continue à travailler avec la norme usuelle). Le cas de la dimension 1 est sans intérèt ( Je ne connais pas beaucoup de complexes qui sont semblables ... toutes les normes marchent !).
Pour répondre dans le cas des dimensions supérieurs ou égales à 2:
Trouver un contrexemple (intelligent) en dimension 2 et l'adapter aux dimensions plus grandes.

MP*3 LLG
X2010

Avatar du membre
Thaalos
Messages : 1931
Enregistré le : mar. 20 janv. 2009 00:21
Classe : Fini.
Localisation : Saclay

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. 13 avr. 2009 19:02

Tu veux trouver un contre exemple ?
Comment trouver un contre exemple à une propriété qui utilise un il existe ?
À moins que ton contre exemple ne vise ma "norme", auquel cas on peut arrêter, elle est effectivement fausse.
Nothing is too hard, many things are too fast.

Shindara
Messages : 382
Enregistré le : dim. 6 août 2006 22:13
Classe : X08 4A

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Shindara » lun. 13 avr. 2009 19:07

Vu comment la question est posée, on est tenté de répondre négativement.

hint a écrit :
Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme : il suffirait de trouver des matrices proportionnelles ( de coeff de proportionnalité de module différent de 1) semblables. Est-ce possible ? Que deviennent les valeurs propres d'une matrice quand on la multiplie par $ \lambda $ ? C'est donc foutu, sauf si les valeurs propres de la matrices sont toutes...nulles ! On va donc chercher dans les matrices nilpotentes. Bon je m'arrête la, il n'est pas difficile de trouver une telle matrice :D


Edit : Caché ma réponse pour ceux qui veulent chercher
Modifié en dernier par Shindara le lun. 13 avr. 2009 19:11, modifié 1 fois.

colis
Messages : 217
Enregistré le : dim. 22 juil. 2007 19:40
Localisation : Devant mon ordi

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » lun. 13 avr. 2009 19:10

Thaalos a écrit :Comment trouver un contre exemple à une propriété qui utilise un il existe ?


Je n'ai pas été très explicite c'est vrai. Supposer qu'il existe une telle norme et trouver des matrices semblables pour lesquels, ça ne marche pas.

shindara a écrit :Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme


Par exemple :wink: .

La question n'est pas difficile si on prend le temps de lire l'énoncé, un minimum !
Modifié en dernier par colis le lun. 13 avr. 2009 19:22, modifié 1 fois.
MP*3 LLG
X2010

Avatar du membre
Thaalos
Messages : 1931
Enregistré le : mar. 20 janv. 2009 00:21
Classe : Fini.
Localisation : Saclay

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » lun. 13 avr. 2009 19:11

Shindara a écrit :Vu comment la question est posée, on est tenté de répondre négativement.
Une piste, serait d'obtenir une contradiction à partir de l'homogénéité de la norme : il suffirait de trouver des matrices proportionnelles ( de coeff de proportionnalité de module différent de 1) semblables. Est-ce possible ? Que deviennent les valeurs propres d'une matrice quand on la multiplie par $ \lambda $ ? C'est donc foutu, sauf si les valeurs propres de la matrices sont toutes...nulles ! On va donc chercher dans les matrices nilpotentes. Bon je m'arrête la, il n'est pas difficile de trouver une telle matrice :D

Pourquoi forcément chez les matrices nilpotentes ?
Car deux matrices proportionnelles (avec le module du coeff de proportionnalité différent de 1) n'ont pas même trace donc ne sont pas semblables ?
Nothing is too hard, many things are too fast.

Répondre