Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 06 mars 2021 07:44

Jolie preuve !

Sinon on pouvait aussi construire un idempotent $ e^2=e\in T $ par l'exo classique en regardant la suite $ (x^{2^n}) $ pour $ x\in T $, et vérifier qu'il est neutre. Si on répète l'opération avec $ y\in T $, par unicité du neutre, $ e $ sera une puissance de $ y $, ainsi tout élément est inversible.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Calli » 06 mars 2021 11:31

versionpatch a écrit :
06 mars 2021 01:48
Je vous suggére l'exercice suivant
Soit $ (w_{1},w_{2},w_{3}) $ une famille libre du $\mathbb{Q}$ espace vectoriel $\mathbb{R}^{2}$. Montrer que l'adhérence de $\mathbb{Z}w_{1} + \mathbb{Z}w_{2} + \mathbb{Z}w_{3}$ contient une droite.
... contient une $\Bbb Q$-droite ou une $\Bbb R$-droite ?

Moi aussi je propose un exercice :
Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du $\Bbb Q$-ev $\Bbb R$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par versionpatch » 06 mars 2021 12:15

L'adhérence est prise dans la topologie de $\mathbb{R}^{2}$ comme un $\mathbb{R}$ espace vectoriel normé donc c'est la même chose.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Calli » 06 mars 2021 13:33

Ah oui. :)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 06 mars 2021 19:39

Traitons d'abord le cas utile de $ (u,v) $ $ \mathbb Q $ libre dans $ \mathbb R $.

Puisque $ \mathbb Z u +\mathbb Zv $ est un sous-groupe additif de $ \mathbb R $ il est dense ou bien de la forme $ \alpha \mathbb Z $.
Or dans le second cas, on a : $ u=n\alpha, v=m\alpha $ pour $ n,m\in \mathbb Z^* $ ($ u\neq 0,v\neq 0 $ par liberté), et ainsi : $ m.u-n.v=0 $, contradiction.

Revenons au problème : Soit $ (u,v,w) $ $ \mathbb Q $ libre dans $ \mathbb R^2 $.

Distinguons deux cas : si $ rg(u,v,w)=1 $, alors, on se ramène à la dimension 1, et l'adhérence contient bien la droite $ \mathbb R u $.

Si $ rg(u,v,w)=2 $, on considère spdg la base $ (u,v) $, et on écrit dans cette base : $ u=(1,0), v=(0,1), w=(a,b) $. Si $ a=0 \lor b=0 $, on se ramène au cas de la dimension 1. Supposons donc $ a\neq 0 \land b\neq 0 $.

Ensuite, dans $ \mathbb R $ on a $ (1,a) $ ou $ (1,b) $ $ \mathbb Q $ libre.
En effet, donnons nous des relations de liaison à coefficients entiers (on se ramène à ce cas en multipliant par le ppcm des dénominateurs) :
$ n+ma=0, p+qb=0 $ alors $ nq.u+mq.w+mp.v=(nq+mqa,mp+mqb)=(0,0) $ donc $ nq=mq=mp=0 $. On a donc $ n=0\lor q=0 $ puis $ (n=0 \land m=0)\lor(q=0\land p=0) $.

Spdg on a $ (1,a) $ $ \mathbb Q $ libre dans $ \mathbb R $. Ainsi $ A=\mathbb Z+\mathbb Za $ est dense dans $ \mathbb R $.

Montrons que $ \mathbb R u \subset \overline{\mathbb Zu+\mathbb Zv+\mathbb Zw} $.
Soit $ \epsilon>0 $.
Pour cela, on se donne par densité deux suites composées d'éléments distincts de $ A : (a_n^{(1)}) $ et $ (a_n^{(2)}) $ à valeurs respectivement dans $ [0,\epsilon/3] $ et $ [2\epsilon/3, \epsilon] $.
En ramenant au pavé $ [0,1]^2 $ par translations entières le long de l'axe des ordonnées, on se donne alors des suites $ u_n^{(1)}=(a_n^{(1)}, b_n^{(1)}) $ et $ (a_n^{(2)},b_n^{(2)}) $ à valeurs dans $ Z=\mathbb Zu+\mathbb Zv+\mathbb Zw $, avec $ b_n^{(1)}, b_n^{(2)} \in [0,1] $.
Par principe des tiroirs infinis, on peut trouver $ |b_n^{(1)}-b_m^{(2)}|\le \dfrac {\epsilon^2}3 $, et on a de plus $ \epsilon \ge a_n^{(2)}-a_m^{(1)}\ge \epsilon/3 $. Posons $ x=u_m^{(2)}-u_n^{(1)}=(\alpha, \beta)\in Z $.

Alors pour $ y\in [0,1] $, en itérant x, on sait que pour un certain entier $ 0\le r \le \dfrac 3{\epsilon} $, on a :$ |r\alpha-y|\le \epsilon $ et de plus $ |r\beta|\le \epsilon $.

Autrement dit $ ||rx-(y,0)||\le 2 \epsilon $.

Cela conclut.


Je ne pense pas avoir fait d'erreur, mais je serais très heureux si quelqu'un se donnait la peine de relire cette preuve assez technique !
Peut-on faire plus simple ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par versionpatch » 06 mars 2021 20:48

Une belle preuve, beaucoup plus constructive que la mienne. Voici ma solution. On suppose que $rg(u,v,w) = 2$, que $(u,v)$ est $\mathbb{R}$ libre (le cas de rang $1$ se traite comme l'a fait Mourien) et on note $Z = \mathbb{Z}u + \mathbb{Z}v + \mathbb{Z}w$.

On munit $\mathbb{R}^{2}$ de la norme infinie sur la base $(u,v)$. En ramenant les $kw, k \in \mathbb{Z}^{*}$ par des translation entieres par u et v, on montre que $B(0,1)$ contient une infinite d'élements distincts de $Z$ et par compacité et le fait que $Z$ est stable par différence, $Z$ contient des élements non nuls de normes arbitrairement petits.

Soit $(z_{n})$ une suite d'élements dans $Z$ telle que $0 < ||z_{n}|| < 2^{-n}$ et $\frac{z_{n}}{||z_{n}||}$ converge vers $a \in S^{1}(0,1)$. Soit $\varepsilon > 0$ ,$y \in \mathbb{R}^{*}$,$n \in \mathbb{N}$ tel que $||z_{n}|| < \frac{\varepsilon}{2}$ et $||\frac{z_{n}}{||z_{n}||} - a|| < \frac{\varepsilon}{2|y|}$ et $K = \left[\frac{y}{||z_{n}||}\right]$. On a donc $$ ||Kz_{n} - ya|| \leq ||Kz_{n} - \frac{y}{||z_{n}||}z_{n} || + |y| \times ||\frac{z_{n}}{||z_{n}||} - a || < \varepsilon $$En fait, il n'est pas nécessaire de traiter le cas de rang $1$ à part, l'énoncé se géneralise à $(w_{1},...,w_{k+1})$ est $\mathbb{Q}$ libre dans $\mathbb{R}^{k} \implies$ L'adhérence de $\sum \mathbb{Z}w_{i}$ contient une droite. Il suffit de refaire la même preuve en supposant que $(w_{1},...,w_{r})$ est une base de l'espace engendré par ces $k+1$ vecteurs et travailler dans cet espace avec la famille $(w_{1},...,w_{r+1})$.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 06 mars 2021 22:07

Merci pour cette preuve ! La compacité est un outil très élégant ici !

Il reste celui-là :
Calli a écrit :
06 mars 2021 11:31
Moi aussi je propose un exercice :
Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du $\mathbb Q$ espace vectoriel $\mathbb R$
Une indication ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par autobox » 07 mars 2021 19:01

Mourien a écrit :
06 mars 2021 22:07
Merci pour cette preuve ! La compacité est un outil très élégant ici !

Il reste celui-là :
Calli a écrit :
06 mars 2021 11:31
Moi aussi je propose un exercice :
Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du $\mathbb Q$ espace vectoriel $\mathbb R$
Une indication ?
As-tu essayé de voir si ça fonctionne avec $ \left\{e^x \,|\, x\in M_3\right\} $, où $ M_3 $ est l'ensemble des réels dont l'écriture en base 3 ne possède aucun 2 (en gros, les centres des intervalles qu'on retire dans la construction de l'ensemble triadique de Cantor) ?

Ou peut-être, la famille $ \{1\}\cup\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2^{-\lfloor e^{nx}\rfloor} \,|\, x\in\mathbb{R}^\ast\right\} $ ?

En tout cas, ça m'a pas l'air simple cette histoire. Il est impossible d'exhiber une Q-base de Hamel de R sans l'axiome du choix, mais une famille libre ça m'a l'air possible.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 10 mars 2021 08:17

Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du Q espace vectoriel R
Ce n'est en fait pas trop méchant. On peut, par exemple, procéder comme suit : j'ai découpé mon raisonnement en plusieurs étapes, pour que l'on puisse voir l'une d'entre elles en se permettant de réfléchir à celles qui suivront.
SPOILER:
À tout sous-ensemble $ X $ de $ \mathbb{N} $ et tout entier $ k \geqslant 0 $, j'associe l'entier $ s_k(X) = \sum_{x=0}^k 2^x \mathbf{1}_{x \in X} $.
SPOILER:
À tout sous-ensemble $ X $ de $ \mathbb{N} $, j'associe maintenant le réel $ f(X) = 1 + \sum_{k \geqslant 0} 2^{-k^2 2^k - k s_k(X)} $.
SPOILER:
La famille $ \{f(X) \colon X \in \mathbb{R}\} $ est libre sur $ \mathbb{Q} $.
SPOILER:
En effet, s'il existe une famille finie (non vide) d'ensembles $ X_1,X_2,\ldots,X_n $ et des rationnels non nuls $ \lambda_1,\ldots,\lambda_n $ tels que $ \sum_i \lambda_i f(X_i) = 0 $, on commence par multiplier tous nos $ \lambda_i $ par le produit de leurs dénominateurs pour supposer qu'ils sont entiers, puis on considère un entier $ k $ tel que les nombres $ s_k(X_i) $ sont deux à deux distincts, et tel que $ \sum_i |\lambda_i| < 2^k $.
SPOILER:
On peut alors vérifier que $ 2^{k^2 2^k + k s_k(X_0)} $ est à distance $ < 1 $ d'un entier non nul, ce qui conclut.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 11 mars 2021 19:37

Bonsoir,

Je vous en propose 2 :

Soit $ n \in\mathbb N,n\geq 2 $ et $ P \in \mathbb Q[x], deg(P)\leq n-1 $ tel que $ \forall j \in [1,n] \cap \mathbb N,P(j) \in \mathbb Z $.
A-t-on $ \forall j \in \mathbb Z,P(j) \in \mathbb Z $ ?

Soit $ R \in \mathbb Q(x) $ tel que pour tout nombre premier $p$, $R(p) \in \mathbb Z$.
A-t-on $ R \in \mathbb Q[x] $ ?

Quelques remarques préliminaires, le deuxième est plus difficile que le premier.
Je donne une indication pour le deuxième si vous séchez.
SPOILER:
on pourra se servir d'un résultat sur la localisation des racines d'un polynôme
Bonne soirée.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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