Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 94

Enregistré le : 22 mars 2020 15:08

Classe : Mp*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 13 mars 2021 19:24

Pour la 1, c'est non.
SPOILER:
$ n=3 $ et $ P(x)=\dfrac 12 (x-1)(x-2) $
Je me penche sur la 2 !
PCSI
MP*

Messages : 120

Enregistré le : 14 févr. 2018 19:13

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Inversion » 13 mars 2021 19:32

Mourien a écrit :
13 mars 2021 19:24
Pour la 1, c'est non.
SPOILER:
$ n=3 $ et $ P(x)=\dfrac 12 (x-1)(x-2) $
Je me penche sur la 2 !
Je ne comprends pas en quoi c'est un contre-exemple :?
2019-2021 : MPSI-MP* Hoche

Messages : 126

Enregistré le : 13 oct. 2019 16:35

Re: Exos sympas MP(*)

Message par autobox » 13 mars 2021 19:42

Inversion a écrit :
13 mars 2021 19:32
Mourien a écrit :
13 mars 2021 19:24
Pour la 1, c'est non.
SPOILER:
$ n=3 $ et $ P(x)=\dfrac 12 (x-1)(x-2) $
Je me penche sur la 2 !
Je ne comprends pas en quoi c'est un contre-exemple :?
Et ça ne risque pas de fonctionner puisque (n-1)(n-2) est toujours un entier pair :)

Messages : 94

Enregistré le : 22 mars 2020 15:08

Classe : Mp*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 13 mars 2021 19:46

En effet :oops:
PCSI
MP*

Messages : 120

Enregistré le : 14 févr. 2018 19:13

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Inversion » 13 mars 2021 20:20

$ $Voici des indications pour la première si tu veux :
SPOILER:
Si je ne dis pas de bêtise, la réponse est oui
SPOILER:
Considérer la famille de polynômes $(P_k)$ définie par $P_0=1$ et pour $k \ge 1$, $P_k(X) = (X-1) \cdots (X-k) / k!$.
SPOILER:
Montrer que pour tout $k$ entier naturel on a $P_k(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z}$
SPOILER:
La famille $(P_k)$ est une base de $R[X]$
SPOILER:
Conclure
2019-2021 : MPSI-MP* Hoche

Messages : 94

Enregistré le : 22 mars 2020 15:08

Classe : Mp*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 13 mars 2021 20:34

Merci inversion !

On peut aussi utiliser l'interpolation de Legendre, cela se ramène à montrer que $ L_k(\mathbb Z)\subset \mathbb Z $.

Pour cela il suffit d'avoir $\forall 1\le i\le n, \forall m\in \mathbb Z, \prod_{j\neq i} (i-j) | \prod_{j\neq i} (m-j)$.
Pour cela il suffit d'avoir en coupant le produit selon les $j>i$ et les $j<i$, $\forall p\ge 0,\forall a\in \mathbb Z, p! | \prod_{k=1,...,p} (a+k)$.

La grosse astuce est ici de reconnaître un coefficient binomial, ce qui conclut.
Modifié en dernier par Mourien le 13 mars 2021 20:44, modifié 1 fois.
PCSI
MP*

Messages : 126

Enregistré le : 13 oct. 2019 16:35

Re: Exos sympas MP(*)

Message par autobox » 13 mars 2021 20:40

Oui
SPOILER:
$ (P_k = X(X-1)\dots(X-(k-1)) , k\in\{0,\cdots,m\}) $ est une base de $ Q_m[X] $ parce que ce sont m+1 polynômes de degrés distincts.
Si on écrit $ P = \displaystyle\sum_{k=0}^m a_k P_k $, avec m = deg(P) et des $ a_k $ rationnels, on trouve que pour tout $ j\in\{0,\cdots,m\} $, $ P(j) = \displaystyle\sum_{k=0}^j a_k\binom{j}{k} $. La formule d'inversion de Pascal donne donc $ a_j = \displaystyle\sum_{k=0}^j (-1)^{j-k}P(k)\binom{j}{k} $.

Messages : 126

Enregistré le : 13 oct. 2019 16:35

Re: Exos sympas MP(*)

Message par autobox » 13 mars 2021 20:44

Il manque un k! au dénominateur dans la base

Messages : 94

Enregistré le : 22 mars 2020 15:08

Classe : Mp*

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mourien » 13 mars 2021 22:04

Pour la 2, je propose ça (j'espère que c'est pas une bêtise !)

On écrit : $R=\dfrac ST$, puis on fait la division euclidienne de $S$ par $T$ dans $\mathbb Q[X]$ : $S=TA+B$ avec $\mathrm{deg} B < \mathrm{deg} T$. On peut ensuite multiplier par le ppcm des dénominateurs des coefficents de tous ces polynômes $d$ pour se ramener à des polynômes à coefficients entiers.

Ensuite, on sait que pour tout $p$ premier : $S(p)=R(p) T(p)$, avec $R(p) \in \mathbb Z$.
Ainsi $T(p)A(p)+B(p)=R(p)T(p)$ puis $R(p)=A(p)+\dfrac{B(p)}{T(p)}$. En faisant tendre $p$ vers l'infini, on a $\dfrac{B(p)}{T(p)}\rightarrow 0$ pour une raison de degré.

Alors, en multipliant par $d$ : $dR(p)=dA(p)+o_{p\rightarrow +\infty}(1)$ et par caractère discret de $\mathbb Z$, $dR(p)=dA(p)$ à partir d'un certain rang.

Ainsi $B$ s'annule sur tous les entiers premiers à partir d'un certain rang, or il y en a une infinité. $B$ est donc identiquement nul, et on peut conclure $T|S$ et $R\in \mathbb Q[X]$.
PCSI
MP*

Messages : 10

Enregistré le : 11 mars 2021 18:24

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 14 mars 2021 07:23

Bonjour,

Bravo. Je pensais qu'ils vous donneraient plus de fil à retordre.

En voilà un autre : Calculer $\max\{\pi(x+200)-\pi(x) \text{ ; } x \in \mathbb N ^*\}$.

Avec $\pi(x)=\{p \in \mathbb N \cap [1,x] \text{ ; } p \text{ Premier }\}$.

Bonne journée.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple mais des fois, tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

Répondre