Exos sympas MP(*)

[Mourien]

Merci inversion !

On peut aussi utiliser l'interpolation de Legendre, cela se ramène à montrer que $ L_k(\mathbb Z)\subset \mathbb Z $.

Pour cela il suffit d'avoir $\forall 1\le i\le n, \forall m\in \mathbb Z, \prod_{j\neq i} (i-j) | \prod_{j\neq i} (m-j)$.
Pour cela il suffit d'avoir en coupant le produit selon les $j>i$ et les $j<i$, $\forall p\ge 0,\forall a\in \mathbb Z, p! | \prod_{k=1,...,p} (a+k)$.

La grosse astuce est ici de reconnaître un coefficient binomial, ce qui conclut.

[autobox]

Oui

SPOILER:

$ (P_k = X(X-1)\dots(X-(k-1)) , k\in\{0,\cdots,m\}) $ est une base de $ Q_m[X] $ parce que ce sont m+1 polynômes de degrés distincts.
Si on écrit $ P = \displaystyle\sum_{k=0}^m a_k P_k $, avec m = deg(P) et des $ a_k $ rationnels, on trouve que pour tout $ j\in\{0,\cdots,m\} $, $ P(j) = \displaystyle\sum_{k=0}^j a_k\binom{j}{k} $. La formule d'inversion de Pascal donne donc $ a_j = \displaystyle\sum_{k=0}^j (-1)^{j-k}P(k)\binom{j}{k} $.

[autobox]

Il manque un k! au dénominateur dans la base

[Mourien]

Pour la 2, je propose ça (j'espère que c'est pas une bêtise !)

On écrit : $R=\dfrac ST$, puis on fait la division euclidienne de $S$ par $T$ dans $\mathbb Q[X]$ : $S=TA+B$ avec $\mathrm{deg} B < \mathrm{deg} T$. On peut ensuite multiplier par le ppcm des dénominateurs des coefficents de tous ces polynômes $d$ pour se ramener à des polynômes à coefficients entiers.

Ensuite, on sait que pour tout $p$ premier : $S(p)=R(p) T(p)$, avec $R(p) \in \mathbb Z$.
Ainsi $T(p)A(p)+B(p)=R(p)T(p)$ puis $R(p)=A(p)+\dfrac{B(p)}{T(p)}$. En faisant tendre $p$ vers l'infini, on a $\dfrac{B(p)}{T(p)}\rightarrow 0$ pour une raison de degré.

Alors, en multipliant par $d$ : $dR(p)=dA(p)+o_{p\rightarrow +\infty}(1)$ et par caractère discret de $\mathbb Z$, $dR(p)=dA(p)$ à partir d'un certain rang.

Ainsi $B$ s'annule sur tous les entiers premiers à partir d'un certain rang, or il y en a une infinité. $B$ est donc identiquement nul, et on peut conclure $T|S$ et $R\in \mathbb Q[X]$.

[Contrexemple]

Bonjour,

Bravo. Je pensais qu'ils vous donneraient plus de fil à retordre.

En voilà un autre : Calculer $\max\{\pi(x+200)-\pi(x) \text{ ; } x \in \mathbb N ^*\}$.

Avec $\pi(x)=\{p \in \mathbb N \cap [1,x] \text{ ; } p \text{ Premier }\}$.

Bonne journée.

[Inversion]

Soit $ R \in \mathbb Q(x) $ tel que pour tout nombre premier $p$, $R(p) \in \mathbb Z$.
A-t-on $ R \in \mathbb Q[x] $ ?

Quelques remarques préliminaires, le deuxième est plus difficile que le premier.
Je donne une indication pour le deuxième si vous séchez.

SPOILER:

on pourra se servir d'un résultat sur la localisation des racines d'un polynôme

Bonne soirée.

Bonjour,

D'une part, je suis extrêmement étonné par l'affirmation selon laquelle le deuxième exercice était plus difficile que le premier. Certes le premier est relativement classique (il figure dans les oraux X/ENS de Cassini - aussi si Mourien est intéressé : on trouve des approfondissements plus difficiles sur le thème de la première question dans le sujet de mathématiques générales de l'agrégation externe de cette année), mais il est loin d'être évident si on ne l'a jamais rencontré. Et également étonné par l'indication donnée pour ce deuxième exercice...

D'autre part, la preuve de Mourien (bravo à lui) montre qu'on peut sans peine remplacer le "pour tout nombre premier $p$, $R(p) \in \mathbb{Z}$" par "pour tout $n \in E$, $R(n) \in \mathbb{Z}$" où $E$ désigne un sous-ensemble infini des entiers relatifs. J'ai par conséquent l'impression que cette question s'apparente davantage à un artifice qu'à un véritable exercice. Quelle en est la source ?

Bonne journée.

[Contrexemple]

Les questions que je pose, sont des questions dans une perspective recherche.
Ainsi je donne rarement les hypothéses optimales, je prends des hypothéses plus particuliéres ce qui rend la réponse encore plus difficile à trouver.

Donc c'est certes du niveau MP* (on peut y répondre en une dizaine de ligne à partir du programme de MP*), et pas dans l'esprit concours (où à force de faire des annales on sait que telle formulation ou expression améne à l'utilisation de tel ou tel résultat), mais dans l'esprit recherche (une question qui peut contenir des hypothéses surperflues).

[Mourien]

Contrexemple, est-ce que tu pourrais nous communiquer ta preuve utilisant la localisation des racines ? (est-ce la méthode Newton ?) C'est assez intriguant !

[Contrexemple]

Je t'explique mon objectif :

Je veux convaincre la communauté maths que le théorème de Fermat-Wiles admet une solution simple, mais tellement astucieuse que l'on a du mal à la trouver.

Pour cela, j'aimerais trouver une énigme comme celle de Fermat, dont j'ai une solution simple (quelques lignes à partir du niveau agreg) dont la communauté maths mettrait plusieurs siècles pour trouver une solution bourrin.

Chaque fois que je revèle ma réponse à une de mes énigmes, je renseigne sur ma façon de faire, et qui alors devient de plus en plus commune, donc pour arriver à mon objectif il faut que je rende publique le moins possible de mes solutions.

Mais tout de même je peux te dire que ta solution est plus simple que la mienne, qui est même plus longue que la tienne (mais j'y prouve un résultat plus fort)

Et pour ma solution j'utilise ce résultat (qui se prouve avec un résultat de localisation des racines) :

Si $P,Q\in \mathbb Z [x],P(x)=a_0+...a_nx^n,Q(x)=b_0+...b_mx^m$ et $P(c)=Q(c)$ avec $c\geq 2 \max(|a_0|,...,|a_n|,|b_0|,...,|b_m|)+1$ avec $c\in \mathbb Z$.
Alors $P(x)=Q(x)$.

Ensuite pour le dernier que j'ai proposé, vous trouverez tous les élements de réponses et la preuve qu'il est bien niveau recherche ici :

https://mathoverflow.net/questions/3706 ... pix-leq-50

Voilà, j'étais surtout revenu, pour dire que quand je suis parti je n'ai jamais demandé, à ce que mes messages soient éffacées.

[autobox]

C'est pas une preuve niveau recherche ça

Matt Visser prétend avoir prouvé la seconde conjecture de Hard-Littlewood en janvier 2021 https://arxiv.org/abs/2101.03283.
Pour rappel, elle dit que $ \pi(x+y)\leqslant\pi(x)+\pi(y) $ pour $ x,y\geqslant 2 $.
On savait déjà que c'était le cas pour x,y assez grands depuis 1975 (Udrescu).
Sa preuve est en attente pour l'instant (à ma connaissance), mais si elle est correcte, elle trivialise totalement ton exo parce que le max est évidemment supérieur ou égal à $ \pi(1+200)-\pi(1) = 46-0 = 46 $ et par Hardy-Littlewood-II, on aurait $ \pi(x+200)-\pi(x)\leqslant \pi(200) = 46 $ pour tout $ x $, ce qui implique que le max que tu cherches est 46.

A prendre avec des pincettes cependant, parce que la seconde conjecture contredit la première. Le monde est malheureusement tel que les deux ne puissent pas être vraies en même temps