Exos sympas MP(*)

[BobbyJoe]

Quand tu vois ce message (sur le lien arxiv de l'article) : "critical error in the direction of one of the key inequalities; the claimed proof does not appear to be fixable"... ça ne sent pas très bon ^^

[autobox]

D'où le "prétend" de mon message précédent
Le type semble être un physicien qui pense qu'on n'avait pas encore découvert les coordonées polaires
Ceci dit, si un mathématicien passe derrière, ça peut peut-être lui donner une idée qui sait. C'est comme la méthode de Richardson-Ronberg en probas numériques. Un truc tout bête qui n'avait jamais été fait, trouvé par un physicien

[Contrexemple]

Quel rapport, ici c'est Ofir et non Matt qui a répondu.

Je parle de la question, qui est niveau recherche (elle n'avait pas encore de réponse).

Et la méthode exposée permet de répondre à la question.

Je suis heureux d'avoir mis sur orbite, au moins, 2 énigmes (avec une réponse niveau agreg) et dont personne n'a encore trouvé de solutions.

Alors à dans 500 ans, avec une réponse bourrin, de 600 pages, de la communauté math...

[jandri]

Le premier exercice proposé par Contrexemple peut se résoudre avec une simple démonstration par récurrence.
Soit $ {\cal P}(n) $ la propriété :
si $ P\in\mathbb R[X] $ avec $ \deg(P)=n-1 $ et $ P(k)\in\mathbb Z $ pour tout entier $ k $ entre $ 1 $ et $ n $ alors $ P(k)\in\mathbb Z $ pour tout $ k\in\mathbb Z $.

$ {\cal P}(1) $ est triviale. Supposons $ {\cal P}(n) $ vraie pour un entier $ n $ et soit $ P\in\mathbb R[X] $ avec $ \deg(P)=n $ et $ P(k)\in\mathbb Z $ pour tout entier $ k $ entre $ 1 $ et $ n+1 $.
On pose $ Q(x)=P(x+1)-P(x) $. On vérifie sans difficultés qu'on peut appliquer $ {\cal P}(n) $ au polynôme $ Q $, donc $ Q(k)\in\mathbb Z $ pour tout $ k\in\mathbb Z $.
Ensuite, de $ P(1)\in\mathbb Z $ on déduit avec $ P(x+1)=P(x)+Q(x) $ que $ P(k)\in\mathbb Z $ pour tout entier $ k\geq1 $ et avec $ P(x)=P(x+1)-Q(x) $ que $ P(k)\in\mathbb Z $ pour tout entier $ k\leq0 $.

[V@J]

Calculer $\max\{\pi(x+200)-\pi(x) \text{ ; } x \in \mathbb N ^*\}$.

Avec $\pi(x)=\{p \in \mathbb N \cap [1,x] \text{ ; } p \text{ Premier }\}$.

Voici une solution qui suggère que ce problème est effectivement sympa, comme tout problème qui requiert de calculer la liste des nombres premiers compris entre 1 et 200.

J'ai préféré utiliser le pouvoir calculatoire de Mathematica et la démarche mise en avant ici :

Code : Tout sélectionner

Max[Table[PrimePi[x + 200] - PrimePi[x], {x, 1, 10}]]
Max[Table[Sum[If[GCD[i, 2*3*5*7*11] == 1, 1, 0], {i, k + 1, k + 200}], {k, 1, 2*3*5*7*11}]]

m'a permis d'obtenir les résultats

Code : Tout sélectionner

46
45

La première ligne nous assure qu'il existe un entier $ x $ pour lequel $ 1 \leqslant x \leqslant 10 $ et $ \pi(x+200) - \pi(x) = 46 $, et qu'aucun entier $ y $ pour lequel $ 1 \leqslant y \leqslant 10 $ et $ \pi(y+200) - \pi(y) \geqslant 47 $.

La seconde ligne nous assure que toute suite de $ 200 $ entiers consécutifs contient au plus $ 45 $ nombres premiers avec $ 2 \times 3 \times 5 \times 5 \times 11 $. Par conséquent, si $ y \geqslant 11 $, on constate que $ \pi(y+200) - \pi(y) \leqslant 45 $, ce qui conclut : le maximum recherché vaut $ 46 $.

Un exercice comme tout élève de MP(*) rêve d'en avoir !

[oty20]

Voici un exercice sympa :

$$A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$$ avec la condition:

$$\forall X, Y \in \mathbb{R}^{n}, X^{T} A Y=0 \Longrightarrow Y^{T} B X=0$$

Montrer qu'il existe $$\alpha \in \mathbb{R} :~ B=\alpha A^{t}$$

[autobox]

Es-tu bien sûr de ton exo ?
Parce que $ B = A^T $ vérifie la condition pour toute matrice $ A $ sans qu'on ait forcément $ A^T = \alpha A $

[Mourien]

Il y a en effet une erreur dans l'énoncé, il faut lire $^tXAY=0 \Rightarrow ^tXBY=0$

SPOILER:

Soit $Y \in \mathbb R^n$. On a en munissant $M_n$ du produit scalaire canonique que $AY^{\perp}=BY^{\perp}$ donc il existe $\alpha$ tel que $BY=\alpha
AY$. On répète l'opération sur une base d'un supplémentaire de $Ker A$ : $Y_1,...,Y_p$, on se donne donc des $\alpha_1,...,\alpha_p$ tels que $BY_i=\alpha_iAY_i$ pour tout $i$. Or on a aussi $B(\sum Y_i)=\alpha A(\sum Y_i)$. Par liberté des $AY_i$, il vient $\alpha_i=\alpha$ pour tout $i$.
Sur $Ker A$, on a $B$ nulle donc on peut conclure : $B=\alpha A$

[oty20]

Bonjour, désolé du retard je voulais écrire B proportionnel à la transposé de A.

[Contrexemple]

Bonjour,

Une petite énigme pour réveiller le fil.

Soient $f\in C^1([0,1])$ et $g \in C^2(f([0,1])) $.
A-t-on $$|\int_0^1g(f(x)) dx-g(\int_0^1 f(x)dx)|\leq 2\max(|f'|)\times \max(|f|)\times \max(|g''|)$$ ?

Avertissement : les énigmes que je propose sont dans une perspective recherche*et non concours**.

* : c'est une question avec parfois certaines hypothéses superflues, avec 0 indices, kit à garder la question sans réponse, qui admet quand même au moins une réponse, qui peut être trés astucieuse, d'une dizaine de lignes, niveau MP*.

** : des types de questions formatés, dont la formulation induit l'utilisation de tel ou tel résultat.

Aller une deuxième :

Soit $f\in C(\mathbb R)$.

1/ On suppose $f$ injective. Existe-t-il $g \in C(\mathbb R)$ tel que $g \circ f=id$ ?

2/ On suppose $f$ surjective. Existe-t-il $g \in C(\mathbb R)$ tel que $f \circ g=id$ ?

PS : $\forall x \in \mathbb R,id(x)=x$ et on justifiera sa réponse.