Exos sympas MP(*)

[Calli]

SPOILER:

Une simple somme télescopique. $$\begin{eqnarray*}
\sum_{n\geqslant 5}\frac1{\binom{n}5} &=& \sum_{n\geqslant 5}\frac{5!}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} \\
&=& \frac{5!}4 \sum_{n\geqslant 5}\Big(\frac1{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} -\frac1{n(n-1)(n-2)(n-3)} \Big) \\
&=&\frac{5!}4 \frac1{4\cdot3\cdot2\cdot1}\\
&=& \frac54
\end{eqnarray*}$$

[Contrexemple]

Un tout petit peu plus difficile.

$ $Calculer en le justifiant : $$\Large{\sum \limits_{n\geq 5} \dfrac{(n+1)^2}{\binom{n} {5}} }$$



Edit : les anneaux puissants

(A, +, *, ^) est un anneau puissant si, (A, +, *) est un anneau commutatif unitaire et pour tout a, b, c dans A
a^(b+c) =a^b*a^c, (a*b) ^c=a^c*b^c et (a^b)^c=a^(b*c)

1) Exhiber un exemple non trivial.

2) A un anneau cyclique fini. Déterminer en la justifiant, une CNS sur o(A) pour que A soit un anneau puissant.

Edit 2 : j'avais mis une condition en trop.

[alm]

Indication: (pour la question de norme invariante par similitude)
Une telle norme n'existe pas car sinon notons la $ \|.\| $, on aurait $$ (\star)\quad \forall (A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb K)\times\bf{GL}_n(\mathbb {K}) \; \|AB\|= \|BA\|. $$ Par densité de $ \bf{GL}_n(\mathbb {K}) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb K) $, et des raisons de continuité, la relation $ (\star) $ serait vrais pour tout $ (A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb K)^2 $. Or il est aisé d'exhiber deux matrices $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ tel que $ AB=0 $ et $ BA \neq 0. $, ce qui fournit une contardiction.

[Contrexemple]

Bonjour

Calculer $$C=\sum\limits_{A\subset \{1,..,n\}, A\neq \emptyset } (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}$$

Bonne journée.

[Calli]

La valeur de $C$ est :

SPOILER:

1

Preuve :

SPOILER:

$$\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{A\subset \{1,..,n\}, A\neq \emptyset } (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}
&=& 1 + \sum\limits_{A\subset \{1,..,n\}, A\neq \emptyset, A\neq\{1\} } (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}\\
&=& 1 + \sum\limits_{A\subset \{1,..,n\}, A\neq \emptyset, A\neq\{1\},1\in A } (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}+ \sum\limits_{A\subset \{1,..,n\}, A\neq \emptyset, A\neq\{1\},1\not\in A } (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}\\
&=& 1 - \sum\limits_{A\subset \{2,..,n\}, A\neq \emptyset} (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}+ \sum\limits_{A\subset \{2,..,n\}, A\neq \emptyset } (-1)^{|A|+1}\max\{a: a\in A\}\\
&=&1
\end{eqnarray*}$$

[Contrexemple]

$ $Soit $ P\in \mathbb Q[x] $, tel que pour tout $q \in \mathbb N$, $P(E(\sqrt{q})\times q) \in \mathbb Z$

A-t-on $\forall i \in \mathbb N, P(i) \in \mathbb Z$?

PS : $E$ la fonction partie entière : $E(1.23)=1$

[Contrexemple]

[Contrexemple]

1/On pose f(x)=x^2+1 dans Z/(101)Z. Calculer la dérivée 101e de f^(101) en 2.
f^n est la composée de f n fois.


2/ On pose f(x)=x^2+1 dans Z/(1031) Z. Calculer la dérivée 101e de f^(101) en 2.
Avec f^2=f o f

[Contrexemple]

J'ai oublié de préciser pour ceux qui ne connaissent pas la notation :

si $x=(x_1,..,x_n)$ alors $x_\sigma=(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)})$

[Mourien]

$ $Soit $ P\in \mathbb Q[x] $, tel que pour tout $q \in \mathbb N$, $P(E(\sqrt{q})\times q) \in \mathbb Z$

A-t-on $\forall i \in \mathbb N, P(i) \in \mathbb Z$?

PS : $E$ la fonction partie entière : $E(1.23)=1$

Oui :

SPOILER:

Soit $d\ge 1$ le degré de $P$.
On a pour $d^2\le q< (d+1)^2$ : $\lfloor \sqrt q\rfloor=d$

$P$ est donc à valeurs entières en $d(d^2), d(d^2+1),\dots, d(d^2+2d)$.

Posons $Q(X):=P(d(d^2+X))$

Alors $Q$ est à valeurs entières sur $0,\dots, 2d$ et son degré est aussi $d$.

Il est classique (cf polynômes de Hilbert) que $Q$ est à valeurs entières sur $\mathbb Z$.

Or $P(X)=Q(\dfrac{X-d^3}d)$ donc $P$ est à valeurs entières sur $d\mathbb Z$.

La preuve marche essentiellement pour tout $d\ge deg(P)$ !

Donc $P$ est à valeurs entières sur $d\mathbb Z,(d+1)\mathbb Z,\dots, 2d\mathbb Z$.

Donc $P$ est à valeurs entières en particulier en $d,\dots, 2d$ et donc sur $\mathbb Z$.

sauf erreur