Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
A propos du théorème de Liouville
Si $ \alpha $ est un nombre algébrique de degré d (i.e. tel qu'il existe un polynôme à coefficients entiers de degré minimal annulé par $ \alpha $), il existe une constante réelle $ K(\alpha) $ telle que, pour tout rationnel p/q différent de $ \alpha $, on ait: $ |{\alpha -\frac {p}{q}}| \geq \frac {K(\alpha)}{|q|^{d}} $.
(En d'autres termes, un nombre algébrique n'est pas "trop" proche d'un rationnel", résultat fort intéressant).
La démonstration est simple.
Considérons le polynôme $ f(X)\in \mathbb Z [X] $ annulé par $ \alpha $ et intéressons nous à la quantité $ f(p/q) $.
Ce dernier est non-nul car on a supposé que p/q était différent de alpha et que si alpha était une racine de f, alors f(X) serait divisible par X-p/q. Donc alpha annulerait un polynôme de degré d-1 ce qui contredit l'hypothèse de minimalité du degré.
Donc |f(p/q)| est strictement positif et rationnel de numérateur strictement positif, supérieur à 1, donc |f(p/q)| est plus grand que 1/|q|^d .
$ |f(\frac {p}{q}|\geq \frac {1}{|q|^d} $.
Si p/q était proche de alpha on aurait f(p/q) très petit grâce à la continuité de f. l'inégalité précédente prouve l'inverse.
Maintenant en utilisant les accroissements finis sur un compact voisin de alpha, on obtient que $ |f(p/q)\leq |\alpha -\frac {p}{q}|\frac {1}{K(\alpha)} $.
CQFD.
Démonstration inspirée (bien que très naturelle) de celle donnée par M. Waldschmidt dans les leçons de mathématiques d'aujourd'hui, Ed. Cassini.
Si $ \alpha $ est un nombre algébrique de degré d (i.e. tel qu'il existe un polynôme à coefficients entiers de degré minimal annulé par $ \alpha $), il existe une constante réelle $ K(\alpha) $ telle que, pour tout rationnel p/q différent de $ \alpha $, on ait: $ |{\alpha -\frac {p}{q}}| \geq \frac {K(\alpha)}{|q|^{d}} $.
(En d'autres termes, un nombre algébrique n'est pas "trop" proche d'un rationnel", résultat fort intéressant).
La démonstration est simple.
Considérons le polynôme $ f(X)\in \mathbb Z [X] $ annulé par $ \alpha $ et intéressons nous à la quantité $ f(p/q) $.
Ce dernier est non-nul car on a supposé que p/q était différent de alpha et que si alpha était une racine de f, alors f(X) serait divisible par X-p/q. Donc alpha annulerait un polynôme de degré d-1 ce qui contredit l'hypothèse de minimalité du degré.
Donc |f(p/q)| est strictement positif et rationnel de numérateur strictement positif, supérieur à 1, donc |f(p/q)| est plus grand que 1/|q|^d .
$ |f(\frac {p}{q}|\geq \frac {1}{|q|^d} $.
Si p/q était proche de alpha on aurait f(p/q) très petit grâce à la continuité de f. l'inégalité précédente prouve l'inverse.
Maintenant en utilisant les accroissements finis sur un compact voisin de alpha, on obtient que $ |f(p/q)\leq |\alpha -\frac {p}{q}|\frac {1}{K(\alpha)} $.
CQFD.
Démonstration inspirée (bien que très naturelle) de celle donnée par M. Waldschmidt dans les leçons de mathématiques d'aujourd'hui, Ed. Cassini.
Re: Exos sympas MP(*)
Tiens ça fait longtemps qu'il n'y a pas de nouvel exo ici ! Pour la peine j'en donne un :
Soient f,g dans S+(E) (endomorphismes symétriques positifs d'un espace vectoriel réel de dimension finie). Montrer que fg est diagonalisable.
Soient f,g dans S+(E) (endomorphismes symétriques positifs d'un espace vectoriel réel de dimension finie). Montrer que fg est diagonalisable.
Re: Exos sympas MP(*)
Nuhlanaurtograff a écrit :Tiens ça fait longtemps qu'il n'y a pas de nouvel exo ici ! Pour la peine j'en donne un :
Soient f,g dans S+(E) (endomorphismes symétriques positifs d'un espace vectoriel réel de dimension finie). Montrer que fg est diagonalisable.
SPOILER:
SPOILER:
J'ai eu cet exercice aux mines en 3/2 (PC), sans aucune aide... sympa.
Re: Exos sympas MP(*)
La question ne suppose pas f et g définies, c'est le cœur de la difficulté. Tu peux voir ma preuve plus haut pour une vraie solution.mookid a écrit :Nuhlanaurtograff a écrit :Tiens ça fait longtemps qu'il n'y a pas de nouvel exo ici ! Pour la peine j'en donne un :
Soient f,g dans S+(E) (endomorphismes symétriques positifs d'un espace vectoriel réel de dimension finie). Montrer que fg est diagonalisable.Si certains voient celà comme une astuce, une autre solution :SPOILER:A noterque le caractère définie de l'un des endomorphismes est dispensable.SPOILER:
J'ai eu cet exercice aux mines en 3/2 (PC), sans aucune aide... sympa.
Dernière modification par VictorVVV le 04 août 2010 14:37, modifié 1 fois.
Fermat 2008-2010
Ulm 2010-?
Ulm 2010-?
Re: Exos sympas MP(*)
Exact.VictorVVV a écrit :g n'est pas forcément inversible, c'est le cœur de la difficulté. Tu peux voir ma preuve plus haut pour une vraie solution.
Remarque : pour la démonstration du lemme on peut raisonner sur les annulateurs plutôt que sur les vecteurs propres, ça marche tout aussi bien.
Re: Exos sympas MP(*)
A propos de l'exo
Soient f,g dans S+(E) (endomorphismes symétriques positifs d'un espace vectoriel réel de dimension finie). Montrer que fg est diagonalisable
voir attachement exercice 8
dans
http://dehame.free.fr/math/mpetoile/pdf/mpsem16.pdf
Soient f,g dans S+(E) (endomorphismes symétriques positifs d'un espace vectoriel réel de dimension finie). Montrer que fg est diagonalisable
voir attachement exercice 8
dans
http://dehame.free.fr/math/mpetoile/pdf/mpsem16.pdf
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
Voici un exercice qui me tient tête depuis une petite heure : P
Soit $ (G, .) $ un magma non associatif, soient $ (a_1;...;a_n) \in G^n $, déterminer le nombre de valeurs possibles prises par $ a_1.a_2. ... . a_n $. J'en suis arrivé à une formule de récurrence mais je n'arrive pas à expliciter le résultat final.
Je ne demande pas une solution, mais uniquement une indication
Voici un exercice qui me tient tête depuis une petite heure : P
Soit $ (G, .) $ un magma non associatif, soient $ (a_1;...;a_n) \in G^n $, déterminer le nombre de valeurs possibles prises par $ a_1.a_2. ... . a_n $. J'en suis arrivé à une formule de récurrence mais je n'arrive pas à expliciter le résultat final.
Je ne demande pas une solution, mais uniquement une indication
Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
Parce que à vue de nez, ca doit correspondre au nombre de "parenthesages" corrects du mot $ a_1 \dots a_n $, qui est assez délicat à expliciter quand on n'a jamais vu les séries (ce qui est a priori ton cas si tu rentres en spé); cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan, et paragraphe "relation de récurrence et comportement asymptotique" pour savoir d'où ca sort.
Quelle est la relation de récurrence que tu obtiens ?Equinox a écrit :Bonjour,
Voici un exercice qui me tient tête depuis une petite heure : P
Soit $ (G, .) $ un magma non associatif, soient $ (a_1;...;a_n) \in G^n $, déterminer le nombre de valeurs possibles prises par $ a_1.a_2. ... . a_n $. J'en suis arrivé à une formule de récurrence mais je n'arrive pas à expliciter le résultat final.
Je ne demande pas une solution, mais uniquement une indication
Parce que à vue de nez, ca doit correspondre au nombre de "parenthesages" corrects du mot $ a_1 \dots a_n $, qui est assez délicat à expliciter quand on n'a jamais vu les séries (ce qui est a priori ton cas si tu rentres en spé); cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan, et paragraphe "relation de récurrence et comportement asymptotique" pour savoir d'où ca sort.
Re: Exos sympas MP(*)
Je connais le cours sur les séries, mais pas sur les séries de fonctions (si tu veux parler de série génératrice ?)... J'obtiens, en notant $ P_n $ le nombres de parenthésages du produit (ie le nombre de valeurs possibles...), $ P_n = \sum_{k=1}^{n-1} P_k . P_{n-k} $