Exos sympas MP(*)

[JC_Math]

Vu aux ENS (il y a longtemps), c'est difficile.

Si $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $, notons $ C_A $ le sous-ensemble des $ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ t.q. $ AM=MA $ et $ M $ est semblable a $ A $.
Soit $ \mathcal{F}_n=\{ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ~|~ C_A \quad \mathrm{est} \quad \mathrm{fini}\} $.
Quels sont les elements de $ \mathcal{F}_n $?

[VictorVVV]

Sur $ \mathbb C $, ça aurait été tout ce qui est diagonalisable de coefficients diagonaux distincts ou homothétie. (On jordanalise. S'il y a un bloc nilpotent, la même matrice de Jordan avec $ z\in \mathbb C^* $ à la place de $ 1 $ sur la sur-diagonale commute avec elle et lui est semblable. Sinon, elle est diagonale et on "mélange" les valeurs propres. Devant un bloc de taille $ \ge 2 $, le nombre de mélanges différents est infini. Si tous les blocs sont de taille $ 1 $, on majore le cardinal par $ n! $.)
Sur $ \mathbb R $, j'y réfléchis. Ça a l'air moins facile de mélanger les valeurs propres lorsque certaines sont complexes. (edit : il semble que ce soit possible)

[dSP]

SPOILER:

Ce sont les matrices scalaires, les matrices dont toutes les racines complexes du polynôme caractéristique sont simples,
et enfin les matrices ayant une valeur propre réelle d'ordre 2 et dont toutes les autres valeurs propres complexes sont non-réelles
et d'ordre 1.

[JC_Math]

Je crains que ce soit un peu difficile (pas pour dSP c'est sur, surtout qu'il reconnaitra sans doute l'inspiration), mais allons y quand meme, c'est joli.

Soient $ A, B \in\mathcal{M}_n(\mathbb C) $ hermitiennes. On suppose que $ X^n\chi_{A+B}(X)=\chi_A(X)\chi_B(X) $. Montrer que $ AB=0 $.
Ceux qui preferrent le matrices reelles symetriques peuvent modifier l'enonce.

[FeynmaN]

Est ce possible d'avoir des exercices abordables pour préparer les oraux, car là bon ça devient très difficile pour des gens normaux en prépas..

[darktaupin]

Est ce possible d'avoir des exercices abordables pour préparer les oraux, car là bon ça devient très difficile pour des gens normaux en prépas..

Voici mon oral blanc du jour :

Soient $ A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb C ) $. Trouver une CNS pour qu'il existe $ T\in\mathcal{M}_n(\mathbb C ) $ non nulle telle que $ AT=TB $

J'ai eu quelques autres questions, mais si je les pose ça donnera des indications voire la réponse donc j'attends un peu.

[JC_Math]

Voici plus abordable (sans doute moins "sympa"), poses aux oraux l'an dernier

Trouver les $ M $ de $ O_n(\mathbb R) $ envoyant $ (\mathbb R^+)^n $ dans lui-même.

Existe-t-il $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb R) $ telle que : $ \mathrm{tr} M = 0 $ et $ M^2 + \ ^t\! M = I_3 $?

Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de $ \mathcal{M}_n(\mathbb R) $ ne contenant que des matrices diagonalisables?

a) Soit $ P \in \mathbbC[X] $ non constant. Montrer que toute racine de $ P' $ est barycentre a coefficients positifs de racines de$ P $ .
b) Soient$ a \in \mathbbC $ et $ n \in \mathbb{N} $ avec $ n \geq 2 $. Montrer que le polynome$ 1 + X + aX^n $ possede au moins une racine de module inferieur ou egal a 2.

[LB]

Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de $ \mathcal{M}_n(\mathbb R) $ ne contenant que des matrices diagonalisables?

SPOILER:

On en connait déjà un pas mal gros, on peut penser qu'il est de dimension maximale et le prouver en trouvant un espace de dimension suffisante et constitué d'aucune matrice diagonalisable non nulle...

SPOILER:

$ S_n(\mathbb R) $ vérifie cette propriété et est de dimension $ \frac{n(n+1)}{2} $. L'ensemble des matrices triangulaires sup. à diagonale nulle forme un s.e.v. de dimension $ \frac{n(n-1)}{2} $ constitué de matrices toutes non diagonalisables en dehors de la matrice nulle. Au vu de sa dimension, tout s.e.v. de dimension $ > \frac{n(n+1)}{2} $ l'intersecte en au moins une droite : donc un tel espace ne peut être constitué uniquement de matrices diagonalisables.

[Asymetric]

Trouver les $ M $ de $ O_n(\mathbb R) $ envoyant $ (\mathbb R^+)^n $ dans lui-même.

J'ai peut être fait une erreur mais j'arrive à prouver que tous les coefficients de $ M $ sont positifs, que $ M $ soit orthogonal ou pas...
Du coup toutes les matrices à coefficients positifs conviennent... ?

[FeynmaN]

Existe-t-il $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb R) $ telle que : $ \mathrm{tr} M = 0 $ et $ M^2 + \ ^t\! M = I_3 $?

SPOILER:

Dans $ M_3 ( \mathbb{C}) $ D'après le lemme de Schur, toute matrice est trigonalisable en base orthonormale, on peut donc écrire : $ M = \ ^t \! P T P $ et donc : $ \ ^t \! M = \ ^t \! P \ ^t \! T P $ et $ M^2 = \ ^t \! P T^2 P $.
L'équation devient : $ T^2 + \ ^t \! T = I_{3} $. (on en déduit que $ T $ est donc diagonale).

On cherche donc trois complexes tel que : $ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=0 $ et $ \lambda _1 ^2 + \lambda_2 ^2 + \lambda_3 ^2 = 3 $. Mais aussi on : $ \lambda_k ^2 + \lambda _ k = 1 $ (qui est facilement ré-solvable). Au final, on ne trouve pas de solutions pour le système.
Finalement, il n'existe pas de matrice vérifiant cette équation sur $ M_3 ( \mathbb{C}) $ donc dans $ M_3 ( \mathbb{R}) $ non plus.

PS : J'ai utilisé le lemme de Schur qui est hors programme mais présent dans les cours des * , donc je suppose qu'on peut se le permettre.