Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 5614

Enregistré le : 14 juin 2005 19:29

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Ragoudvo » 14 mars 2012 20:49

Par complétude de $ L^q $, $ (f_n) $ a une limite, et par unicité (il y a un peu à rédiger à cet endroit, si on veut pas s'embêter on dit que $ (f_n) $ converge au sens des distributions vers sa limite dans L^p et vers cette limite dont on a montré l'existence... et on dit alors qu'il y a unicité), c'est f.
Modifié en dernier par Ragoudvo le 14 mars 2012 20:53, modifié 1 fois.

Messages : 1344

Enregistré le : 23 mai 2009 21:10

Classe : ECP

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Cyril » 14 mars 2012 20:53

Ragoudvo a écrit :Par complétude de $ L^q $, $ (f_n) $ a une limite, et par unicité, c'est f... ou je dis une bêtise ?
En fait, je ne sais pas montrer la complétude de Lq :oops: (Je n'étais d'ailleurs même pas sûr du résultat, je vais me documenter)

Pour l'unicité, tu la montres comment ?

Messages : 5614

Enregistré le : 14 juin 2005 19:29

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Ragoudvo » 14 mars 2012 20:57

Cyril a écrit :En fait, je ne sais pas montrer la complétude de Lq :oops: (Je n'étais d'ailleurs même pas sûr du résultat, je vais me documenter)
Ah d'accord. C'est un examen de quel cours ? Vous aviez les espaces Lp au programme ou c'est juste le prof qui trippe ? Parce que sinon je pense que ça doit (devrait) faire partie de tout cours sur le sujet.
Pour l'unicité, tu la montres comment ?
Comme j'ai dit si on estime avoir le droit d'utiliser la théorie des distributions. Sinon il y a probablement moyen de le faire à la main par l'absurde... Par exemple si ça converge vers f dans l'un et g dans l'autre et que ce sont deux fonctions différentes sur un certain ensemble de mesure non nulle, tant qu'à faire on réduit cet ensemble pour qu'il soit de mesure finie, et alors par inclusion de L^max(p,q)(cet_ensemble) dans l'autre il y a une contradiction (je n'ai rien écrit mais ça doit marcher :mrgreen: ).
Modifié en dernier par Ragoudvo le 14 mars 2012 21:02, modifié 1 fois.

Messages : 5614

Enregistré le : 14 juin 2005 19:29

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Ragoudvo » 14 mars 2012 21:02

fakbill a écrit :Ragoudvo : ha? fais voir ;)
J'ai vraiment la flemme de toutes les retrouver tant d'années après ;) Il y a déjà ce lien (et un article de l'American Math Monthly indiqué en référence, mais pas en accès libre) qui en donnent plein. (Et la preuve à laquelle tu pensais était effectivement celle que "tout le monde" connaît.)

Avatar du membre
LB

Messages : 1059

Enregistré le : 09 juin 2008 14:14

Localisation : par rapport à un idéal maximal

Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » 14 mars 2012 21:03

Pour la complétude des espaces $ L^p $ : théorème de Riesz-Fischer, il faut le voir une fois, c'est un peu technique mais pas très difficile non plus.
Pour le fait que la limite soit la même : comme Ragoudvo l'a dit, tu peux invoquer une unicité, mais il faut alors plonger $ L^p $ et $ L^q $ dans un espace plus grand, où les convergences ont encore lieu. En toute généralité, un espace topologique séparé suffit car il y a unicité de la limite. Ici, si tu connais les distributions, et bien l'unicité de la limite dans $ D'(\mathbb R) $ va fonctionner.

Sinon, en regardant le théorème de Riesz-Fischer je me suis rendu compte d'un autre argument, plus simple : ce théorème te dit non seulement que ces espace sont complets, mais aussi que de toute suite qui converge dans $ L^p $ on peut extraire une sous-suite qui converge $ \mu $-p.p. vers la même limite. Il suffit alors d'extraire ainsi de la suite, premièrement une sous-suite convergeant vers $ f $ dans $ L^p $, et de cette même sous-suite, encore de Cauchy dans $ L^q $ donc y convergeant vers $ g $, une sous-suite convergeant presque partout vers $ g $, donc $ f=g $ presque partout puisque la deuxième extraction converge presque partout à la fois vers $ f $ et vers $ g $.
Modifié en dernier par LB le 14 mars 2012 21:06, modifié 2 fois.

Messages : 1344

Enregistré le : 23 mai 2009 21:10

Classe : ECP

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Cyril » 14 mars 2012 21:04

Ragoudvo a écrit :
Cyril a écrit :En fait, je ne sais pas montrer la complétude de Lq :oops: (Je n'étais d'ailleurs même pas sûr du résultat, je vais me documenter)
Ah d'accord. C'est un examen de quel cours ? Vous aviez les espaces Lp au programme ou c'est juste le prof qui trippe ? Parce que sinon je pense que ça doit (devrait) faire partie de tout cours sur le sujet.
Pour l'histoire, c'est un truc que j'ai eu à Dauphine, pas à Centrale. Et je sais pas trop ce qu'il a fait ou pas (vu qu'on avait à peu près tout vu en prépa, j'y suis pas allé et son cours n'est pas sur internet), l'intitulé c'est "Introduction à l'analyse fonctionnelle". J'imagine qu'il a démontré dans son cours que c'était complet (et zieutant sur internet, j'ai vu une preuve, j'aurais eu du mal à trouver en temps si limité).
Comme j'ai dit si on estime avoir le droit d'utiliser la théorie des distributions. Sinon il y a probablement moyen de le faire à la main par l'absurde... Par exemple si ça converge vers f dans l'un et g dans l'autre et que ce sont deux fonctions différentes sur un certain ensemble de mesure non nulle, tant qu'à faire on réduit cet ensemble pour qu'il soit de mesure finie, et alors par inclusion de L^max(p,q) dans l'autre il y a une contradiction (je n'ai rien écrit mais ça doit marcher :mrgreen: ).
LB a écrit :Pour la complétude des espaces $ L^p $ : théorème de Riesz-Fischer, il faut le voir une fois, c'est un peu technique mais pas très difficile non plus.
Pour le fait que la limite soit la même : comme Ragoudvo l'a dit, tu peux invoquer une unicité, mais il faut alors plonger $ L^p $ et $ L^q $ dans un espace plus grand, où les convergences ont encore lieu. En toute généralité, un espace topologique séparé suffit car il y a unicité de la limite. Ici, si tu connais les distributions, et bien l'unicité de la limite dans $ D'(\mathbb R) $ va fonctionner.

Sinon, en regardant le théorème de Riesz-Fischer je me suis rendu compte d'un autre argument, plus simple : ce théorème te dit non seulement que ces espace sont complets, mais aussi que de toute suite qui converge dans $ L^p $ on peut extraire une sous-suite qui converge $ \mu $-p.p. vers la même limite. Il suffit alors d'extraire ainsi de la suite, premièrement une sous-suite convergeant vers $ f $ dans $ L^p $, et de cette même sous-suite, encore de Cauchy dans $ L^q $ donc y convergeant vers $ g $, une sous-suite convergeant presque partout vers $ g $, donc $ f=g $ presque partout.
Merveilleux, merci !

Messages : 5614

Enregistré le : 14 juin 2005 19:29

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Ragoudvo » 14 mars 2012 21:06

Cyril a écrit :Pour l'histoire, c'est un truc que j'ai eu à Dauphine, pas à Centrale. Et je sais pas trop ce qu'il a fait ou pas (vu qu'on avait à peu près tout vu en prépa, j'y suis pas allé et son cours n'est pas sur internet), l'intitulé c'est "Introduction à l'analyse fonctionnelle". J'imagine qu'il a démontré dans son cours que c'était complet (et zieutant sur internet, j'ai vu une preuve, j'aurais eu du mal à trouver en temps si limité).
Oui vu le titre du cours. Dommage que tu n'aies pas regardé le cours d'un collègue, c'est gênant de ne pas être à armes égales ;)
Merveilleux, merci !
Ce que raconte LB est plus propre que ce que je raconte.

Messages : 1344

Enregistré le : 23 mai 2009 21:10

Classe : ECP

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Cyril » 14 mars 2012 21:10

Ragoudvo a écrit : Oui vu le titre du cours. Dommage que tu n'aies pas regardé le cours d'un collègue, c'est gênant de ne pas être à armes égales ;)
Oui, mais d'une part c'est la seule question qui me manquait, et d'autre part je suis inscrit pour les connaissances et le diplôme, pas pour les notes. Pas grave si j'apprends quelques petits trucs après le partiel.
Merci à vous deux en tout cas.
(Demain, théorie des jeux :D )

Messages : 2916

Enregistré le : 21 avr. 2010 20:07

Classe : 8-)

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Vlastilin » 14 mars 2012 21:28

J'avais envie de faire cette licence à dauphine, mais je me disais qu'en plus de celle de physique fondamentale, ça faisait beaucoup...Les partiels sont durs par rapport aux maths de 1A de centrale, ou on peut y aller en touriste ?
Ah d'accord. C'est un examen de quel cours ? Vous aviez les espaces Lp au programme ou c'est juste le prof qui trippe ? Parce que sinon je pense que ça doit (devrait) faire partie de tout cours sur le sujet.
Les espaces Lp sont aussi au programme à centrale, au fait

Messages : 1344

Enregistré le : 23 mai 2009 21:10

Classe : ECP

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Cyril » 14 mars 2012 21:33

Vlastilin a écrit :J'avais envie de faire cette licence à dauphine, mais je me disais qu'en plus de celle de physique fondamentale, ça faisait beaucoup...Les partiels sont durs par rapport aux maths de 1A de centrale, ou on peut y aller en touriste ?
Ah d'accord. C'est un examen de quel cours ? Vous aviez les espaces Lp au programme ou c'est juste le prof qui trippe ? Parce que sinon je pense que ça doit (devrait) faire partie de tout cours sur le sujet.
Les espaces Lp sont aussi au programme à centrale, au fait
Mes impressions :
-Les amphis/TDs sont faciles, et ça va pas vite. Du coup c'est mieux de bosser chez soi (surtout que c'est pas à côté).
-Les ressources pédagogiques sont +/- mises sur internet, du coup c'est pas toujours facile de s'en sortir sans y aller.
-Si tu fais rien, c'est galère de valider certaines matières (sauf gros acquis en MP*, et encore). Cela dit, en ancien MP*, ça demande pas un travaille monstrueux
-Contrairement à Orsay, les horaires ne sont pas adaptés (on est mélangés avec ceux qui font ça à plein temps)

Comparer à Centrale, j'aurais du mal.

Répondre