Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Gyptone » 19 mars 2012 21:59

TicToc a écrit :
Il y a une erreur de signe : il faut lire $ a^n-a+1 $ . Mes excuses les plus sincères !

Je corrige donc :

"Soit un entier $ a $ supérieur à $ 1 $. Montrer qu'il y a une infinité de nombres de la forme $ a^n-a+1 $ et premiers entre eux deux à deux."
TicToc a écrit :Easy easy...pour le moment je ne vois pas de preuve!
Vraiment ?

:lol: :lol:
SPOILER:
On considère un ensemble fini arbitrairement grand de nombres premiers $ E=\{p_1,\ldots,p_k\} $. Construire un nombre de la forme $ a^n-a+1 $ qui est premier avec tous les éléments de $ E $ permet de conclure que la thèse est vraie.

Or, en choisissant $ n $ égal à $ (p_1-1)\cdots(p_k-1)+1 $, il vient $ a^n\equiv a\pmod p $ quel que soit $ p\in E $, en vertu du petit théorème de Fermat, ce qui suffit.

Concernant la provenance des $ p_1,.. $ :

On prend $ a^2-a+1>1 $ comme premier nombre.

Ensuite, pour chaque nouveau nombre, si on possède déjà $ m>0 $ nombres deux à deux premiers entre eux de la forme $ a^n-a+1 $, l'ensemble $ E=\{p_1,\ldots,p_k\} $ est l'ensemble de tous les facteurs premiers de ces $ m $ nombre.

Nota : Étonnant que les habituels prétentieux de ce site n'aient pas trouvés une solution :)
SPOILER:
Je reviens à la suite initiale $ a^n+a+1 $.

Montrer que que si $ a\neq 1(mod\ 3) $ alors la suite contient une infinité de nombres premiers entre eux deux à deux.
Il y a une généralisation sympa derrière tout ça

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 19 mars 2012 22:51

Gyptone a écrit :Nota : Étonnant que les habituels prétentieux de ce site n'aient pas trouvés une solution :)
Ils laissent cet honneur aux nouveaux. :wink:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Gyptone » 19 mars 2012 22:54

V@J a écrit :
Gyptone a écrit :Nota : Étonnant que les habituels prétentieux de ce site n'aient pas trouvés une solution :)
Ils laissent cet honneur aux nouveaux. :wink:
Le spoiler n°2 m’intéresse plus que ta remarque, si tu n'as que ça à dire :D

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Asymetric » 19 mars 2012 23:11

V@J a écrit :
Gyptone a écrit :Nota : Étonnant que les habituels prétentieux de ce site n'aient pas trouvés une solution :)
Ils laissent cet honneur aux nouveaux. :wink:
Moi je me demande si ce sont vraiment des nouveaux...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » 19 mars 2012 23:31

Gyptone : 2.5/10 (pour ton troll, sinon ta sympathie, au choix, dans l'ordre).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Silvere Gangloff » 19 mars 2012 23:38

riri69 a écrit :bon bah pour une fois j'ai un exo : a,b,c des reéls positifs tels que a+b+c=Pi/2

Montrer que (sin(a)).(sin(b)).(sin(c))<(ou égal) 1/8


Bonne chance
On pose $ f(x)=x(1-x) $ pour $ x \in [0,1] $. Par variations, on montre que $ f \le \frac{1}{4} $.
On en déduit que $ sin(a)(1-sin(a)) \le \frac{1}{4} $
D'où $ g(a)=sin(a)sin(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2})cos(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2})=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 sin(a)[cos(\frac{a}{2}) $$ -sin(\frac{a}{2})]^2 $ $ \le \frac{1}{8} $, où $ g(a) $ correspond au maximum de la fonction qui à $ x $ associe $ sin(a)sin(x)cos(x+a) $, donc pour $ x=b $, on obtient la majoration suivante : $ sin(a)sin(b)cos(a+b) \le \frac{1}{8} $, ce qui, comme $ a+b+c= \frac{\pi}{2} $, donne $ sin(a)sin(b)sin(b) \le \frac{1}{8} $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nuhlanaurtograff » 20 mars 2012 00:51

Nota : Étonnant que les habituels prétentieux de ce site n'aient pas trouvés une solution
Faux ! Tu as trouvé une solution.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par TicToc » 20 mars 2012 10:18

La solution à l'exercice de "Gyptone" m'intéresse :) Mais étant donné qu'il à mauvais caractère, je ne lui demanderais pas :!: Des idées pour solutionner le problème en question ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Cyril » 20 mars 2012 12:53

LB a écrit :Gyptone : 2.5/10 (pour ton troll, sinon ta sympathie, au choix, dans l'ordre).
Généreux en plus :wink:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par VincentR » 20 mars 2012 13:26

Dommage qu'il y en ait même sur les topics sérieux.

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