Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 20 mars 2012 23:07

Exact j'avais oublié de vérifier la commutativité.
Pour M_k la matrice diagonalisable est égale à M_k et la matice nilpotente à 0

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par artofmaths » 20 mars 2012 23:09

Maintenant, penses-tu toujours que l'application qui, à une matrice $ M $ associe le couple $ (D,N) $ est continue ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 20 mars 2012 23:10

Autant pour moi, tu avais raison. C'est loin d'être immédiat.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par artofmaths » 20 mars 2012 23:16

Je serai d'ailleurs incapable de le démontrer :mrgreen:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Gyptone » 20 mars 2012 23:29

compol a écrit :Que peut-on dire d'un groupe dont le groupe des automorphismes est réduit à l'identité?
SPOILER:
En fait j'ai réussi à montrer que ses éléments sont tous d'ordre au plus 2. (Donc il est abélien, et s'il est fini son cardinal est une puissance de 2). Mais je me demande si on peut faire mieux...
Oui, mais le plus facile reste à faire ;-)
Tu peux montrer que ton groupe est d'ordre 1 ou 2 (bref, seulement deux classes d'isomorphie possibles : le groupe trivial et le groupe cyclique d'ordre 2)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par LB » 21 mars 2012 00:10

Asymetric a écrit :Revenons aux choses sérieuses :

Montrer que l'exponentielle de matrice de $ M_n(\mathbb{R}) $ dans lui-même est différentiable, et déterminer sa différentielle.

C'est probablement ultra classique en calcul diff, mais j'ai jamais vu en prépa cet exo encore...
Ailleurs qu'en une $ \lambda I_n $, c'est pas du tout ultra classique, c'est plutôt technique, et long, d'un niveau développement d'agrég.
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/dev ... atrice.pdf

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Asymetric » 21 mars 2012 00:29

LB a écrit :
Asymetric a écrit :Revenons aux choses sérieuses :

Montrer que l'exponentielle de matrice de $ M_n(\mathbb{R}) $ dans lui-même est différentiable, et déterminer sa différentielle.

C'est probablement ultra classique en calcul diff, mais j'ai jamais vu en prépa cet exo encore...
Ailleurs qu'en une $ \lambda I_n $, c'est pas du tout ultra classique, c'est plutôt technique, et long, d'un niveau développement d'agrég.
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/dev ... atrice.pdf
C'est de ce livre d'ailleurs que m'est venu l'idée de poster le résultat ici.
J'ai délibérément enlevé les questions intermédiaires, je pensais qu'une personne astucieusement choisi dans ce topic aurait torché l'exercice sans émettre la moindre réflexion.

Plus sérieusement, je n'ai pas mis de questions intermédiaires, je voulais d'abord entendre les idées de chacun pour voir s'il y avait plus simple.
(Je sais pas, par exemple un argument d'une théorie plus globale qui permet de répondre directement, j'ai déjà vu quelqu'un (peut-être toi) utilisé "pour la topologie de Zariski on a directement ... ").

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nuhlanaurtograff » 21 mars 2012 00:51

ØļivierŏđÐ a écrit :En outre je signalais juste l'existence d'un sujet en rapport avec l'exercice rien de plus
Non. Tu as dit que cet exercice était tombé (donc tel quel) à l'X en 2010. Ce n'est clairement pas le cas.
Il s'agit :
*d'une part de montrer la différentiabilité. Je pense que le caractère $ C^{\infty} $ permet de conclure assez facilement
*de calculer la différentielle ce qui est bien le but du sujet
Calculer la différentielle est bien le but du sujet, sauf que la démonstration proposée dans le sujet de l'X suppose la différentiabilité, qui n'est pas si triviale que ça.

Je pense que le moyen le plus direct est de montrer que si une suite d'applications différentiables converge simplement au voisinage d'un point x et que la suite des différentielles converge uniformément au voisinage de x, alors la suite d'applications converge uniformément et la limite est différentiable de différentielle la limite des différentielles.
LB a écrit :
Asymetric a écrit :Revenons aux choses sérieuses :

Montrer que l'exponentielle de matrice de $ M_n(\mathbb{R}) $ dans lui-même est différentiable, et déterminer sa différentielle.

C'est probablement ultra classique en calcul diff, mais j'ai jamais vu en prépa cet exo encore...
Ailleurs qu'en une $ \lambda I_n $, c'est pas du tout ultra classique, c'est plutôt technique, et long, d'un niveau développement d'agrég.
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/dev ... atrice.pdf
Ici aussi on suppose la différentiabilité non ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Asymetric » 21 mars 2012 18:53

Une jolie application du théorème des fonctions implicites :

Montrer que l'ensemble des polynômes à racines simples de $ \mathbb{C}_n[X] $ est un ouvert de $ \mathbb{C}_n[X] $.
En déduire alors que l'ensemble des matrices strictement diagonalisables (c'est à dire à valeur propre simple) de $ M_n(\mathbb{C}) $ est un ouvert de $ M_n(\mathbb{C}) $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par artofmaths » 21 mars 2012 19:01

Sinon on peut aussi utiliser le résultant pour ceux qui connaissent...

J'en propose un : Quels sont les points de continuité de l'application $ M\in M_n(\mathbb{K})\mapsto \pi_M $ (où $ \pi_M $ désigne le polynôme minimal de $ M $) ?
Modifié en dernier par artofmaths le 21 mars 2012 19:41, modifié 1 fois.

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