Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par VincentR » 09 août 2012 16:19

Et aéropage/aréopage aussi (parcque moi, celui là :roll: ).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 10 août 2012 03:33

Nico_ a écrit :
ØļivierŏđÐ a écrit :
brank a écrit :oh c'est quoi ta preuve avec les réseaux Olivier ?
SPOILER:
Tu construis un réseau de rang k stable par tous les éléments de G, et tu en prends une base entière. Avec ce changement de base, les matrices de G seront semblables à des éléments de $ GL_k(\mathbb{Z}) $
Après 10min de bug : je crois que je vois :) Mais j'ai pas fait comme ça.
Ah ? Comment t'y es-tu pris ?
vincentroumezy a écrit :Tu vas changer d'avatar chaque semaine ? Je parie que le prochain c'est Euler.
Non, mais j'avais déjà dit qu'à la base je voulais mettre Galois en avatar. Comme je trouvais pas d'image convenable, j'avais mis mon autre scientifique préféré (Poincaré) . Là a priori ça ne devrait pas bouger.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par black&white » 10 août 2012 04:10

Silvere Gangloff a écrit :Un exercice proposé à l'oral de l'ENS Ulm :
Soit $ x>0 $ un nombre rationnel. Montrer qu'il existe $ n\ge 1 $ et des nombres entiers positifs distincts tels que
$ x=1/a_1 + ... + 1/a_n $
J'ai une solution, mais je suis curieux de voir la diversité des raisonnements que vous pouvez proposer. Ainsi que pour celui-ci, posé aussi à l'oral d'Ulm :
Soit $ n \ge 1 $ et $ (x_1,...,x_n) \in {\mathbb{Z}}^n $. Montrer qu'il existe une partie $ I $ de $ \{1,..,n\} $ telle que $ \underset{i\in I}{\sum} x_i $ est divisible par $ n $.
SPOILER:
Pour le second , tu considère les n sommes ( x1 + ... + xi ) , i variant de 1 à n . Si une de ces sommes est divisible par n , c'est bon . Sinon il existe deux de ces sommes qui ont le même reste dans la division par n ( principe des tiroirs ) auquel cas leur différence est divisible par n .
Un exo du même type :

Montrer que pour tout n dans N , il existe un multiple de n d’au plus n chiffres, tous égaux à 0 ou 1.

Si quelqu'un a une piste pour le premier exo ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par brank » 10 août 2012 12:33

pour le premier

SPOILER:
$ x=\frac{p}{q} $ avec p et q entiers. Si tu arrives à écrire $ \frac{1}{q} $ de p façons différentes (mais toujours avec des fractions unitaires), c'est gagné.

écris $ x=\frac{p}{q}=\frac{1}{q} $+....+$ \frac{1}{q} $ (p termes ) ensuite tu utilises cette égalité Image pour le 2ème $ \frac{1}{q} $ puis 2 fois pour le 3ème,etc jusqu'au p-ème.Tu vérifies très facilement que les fractions obtenues sont toutes unitaires et distinctes.
C'est une fiotte.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zboum » 10 août 2012 12:59

J'ai dit n'importe quoi.
Modifié en dernier par zboum le 10 août 2012 13:27, modifié 1 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Retard » 10 août 2012 13:03

Je ne comprends pas la suite : 101-10=91 n'est pas composé que de 1 et de 0...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zboum » 10 août 2012 13:32

Retard a écrit :Je ne comprends pas la suite : 101-10=91 n'est pas composé que de 1 et de 0...
Tu as raison, je n'ai pas fait attention, j'y réfléchis à nouveau.
Enfait c'est bon:
SPOILER:
on prend la suite A(1)=1 A(2)=11 etc... Par le principe des tiroirs, parmi les n premiers termes il y en a deux qui ont le même reste dans la division par n : A(p) et A(q) avec p>q. Le nombre A(p)-A(q) convient. Ça doit être bon la, enfin j'espère. Désolé pour l'erreur.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par leokent » 10 août 2012 20:54

black&white a écrit :Un exo du même type :

Montrer que pour tout n dans N , il existe un multiple de n d’au plus n chiffres, tous égaux à 0 ou 1.
Zéro est une bonne réponse :mrgreen:
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nico_ » 10 août 2012 23:28

ØļivierŏđÐ a écrit : Ah ? Comment t'y es-tu pris ?
SPOILER:
Tu considères $ \sum fZ^n $ où les f sont dans G et tu vérifies que ce truc est isomorphe à $ Z^n $.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 11 août 2012 04:06

Heu Nico_ ... Tu as la même preuve que moi :mrgreen: (ton ensemble est un réseau de rang k stable par les éléments de G . Pour montrer l'isomorphisme, tu dois en prendre une base entière)
leokent a écrit :
black&white a écrit :Un exo du même type :

Montrer que pour tout n dans N , il existe un multiple de n d’au plus n chiffres, tous égaux à 0 ou 1.
Zéro est une bonne réponse :mrgreen:
J'ai pensé la même chose :mrgreen:

En fait c'est un corollaire direct de l'exo de Silvère (en prenant les n premières puissances de 10 ($ 1,10, \dots , 10^{n-1} $) en guise des n entiers $ x_1,\dots,x_n $

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