Exos sympas MP(*)

[kolomogorovo]

J'avais jamais remarqué que cette méthode ne donnait que des équivalents en puissance de n!
Je pense qu'on peut corser un peu tout ça en prenant $ a_{n+1}=a_n^2+\exp(-a_n) $ avec $ a_0 \geq 1 $.

peut-on trouver un équivalent ?

[V@J]

Ah ! J'avais mal compris ta question, en effet. Euh... Je regarde $ b_n = n (a_n - \ln(n)) $, j'obtiens une relation de récurrence entre $ b_{n+1} $ et $ b_n $ et ça marche. Mais passer par les exponentielles est beaucoup plus efficace.

[Vlastilin]

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[kolomogorovo]

Justement, je ne vois pas comment conjecturer l'équivalent?
je vois déjà que c'est quelque chose qui diverge plus vite que la première vu que le terme d'avant est mis au carré (et que nos termes sont supérieurs à 1), peut-être du $ \ln^2(n) $? mais c'est vraiment non fondé...
Dans ce cas là j'étudie comme suite auxiliaire $ b_n=\exp(\sqrt{a_n}) $ mais ça n'a pas l'air de marcher.

[bullquies]

je doute fortement que ce soit en ln(n)² vu que $ a_2= 1 + 1/e, a_3 > a_2^2, a_4> a_2^4, a_3>a_2^8 $... bref $ a_n > a_2 ^{2^n} $

[V@J]

Quand tu regardes $ a_{n+1} = a_n^2 + \exp(-a_n) $, tu vois que $ a_n \to +\infty $ donc le terme "dominant" sera en $ a_n^2 $. Tu aimerais bien avoir une suite auxiliaire de la forme $ b_{n+1} = b_n + \mathrm{[DL~ne~d\acute{e}pendant~pas~de~}b_n] $. Or, tu sais que $ a_{n+1} \approx a_n^2 $. Quelle suite auxiliaire aimerais-tu prendre ?

[JeanN]

Dans le dernier numéro de la RMS se trouve cet exercice :
Soit $ (a_k)\in R^N $ une suite réelle. Soit $ M_n=[a_{|i-j|}] \in M_n(R) $ et $ D_n=det(M_n) $.
Montrer que $ D_{n-2} D_n\leq D_{n-1}^2 $.
Bon courage

[Silvere Gangloff]

Pour relancer, j'en lance un très dur (comme les très durs que JC_Maths proposait) qui a été donné l'an dernier en colle par un ami à une torche de spé, avec quelques indications. Il s'agit d'un exercice dans l'adhérence du programme de prépa (abordée par les classes les plus ambitieuses) sur les groupes (distingué, actions) mais pas plus que certains déjà postés ici.

Soit $ G $ un groupe fini d'ordre $ n \geqslant 3 $. On note $ \varphi $ l'indicatrice d'Euler et on suppose que $ n $ et $ \varphi(n) $ sont premiers entre eux. Montrer que $ G $ est abélien.

On montre assez simplement, en utilisant la décomposition en facteurs premiers, que $ \varphi (n) $ et n premiers entre eux implique que n est un produit de nombres premiers et premiers entre eux deux à deux : $ n=p_1 ... p_s $. Les théorèmes de Sylow assurent qu'il existe des éléments $ g_1, ... g_s $ de $ G $ d'ordres respectifs $ p_1, ... p_s $, et que $ g_i g_j g_i ^{-1} $ est conjugué à $ g_j $, c'est à dire que c'est une puissance $ g_j ^{k_{i,j}} $ de $ g_j $. En combinant ces égalités, et en utilisant le fait que $ p_i $ et $ p_j $ sont premiers entre eux pour $ i \neq j $, on obtient $ g_j ^{k_{i,j}-1} = g_i ^{ k_{j,i}-1} = e $, et par conséquent, $ g_i $ et $ g_j $ commutent.
Le groupe engendré par les $ g_k $ est donc commutatif, et en utilisant les ordres, est de cardinal égal à celui de $ G $, ce qui termine la démonstration.
Mais bon c'est carrément hors programme.

[certus]

Dans le dernier numéro de la RMS se trouve cet exercice :
Soit $ (a_k)\in R^N $ une suite réelle. Soit $ M_n=[a_{|i-j|}] \in M_n(R) $ et $ D_n=det(M_n) $.
Montrer que $ D_{n-2} D_n\leq D_{n-1}^2 $.
Bon courage

Cette matrice est du Toeplitz , M_n est symétrique réelle donc diagonalisable

[Vlastilin]

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