Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Kapoh » 31 mai 2015 14:33

Madec a écrit :
Kapoh a écrit :Oups je vais éditer : c'est symétrique pas diagonalisable...
mea maxima culpa :oops:
SPOILER:
dans un sens c'est directement du cours une matrice symétrique est diagonalisable donc son polynôme caractéristique est scindé. Et tM= M implique tMM=MtM.
Dans l'autre sens un résultat dit que lorsque deux matrices commutent et sont trigonalisables ( ici c'est le cas car le polynôme caractèristique est scindé)alors il existe une base commune de trigonalisation , il s'en suit alors que tM = M en se plaçant dans cette base.
Reste à montrer le résultat que j'évoque ( par récurrence si je me souviens bien ) .
J'ai une méthode un peu différente :
SPOILER:
on montre :Ker M =Ker tMM=Ker MtM=Ker tM. On peut faire la même chose en remplaçant M par M’=M-lambda I_n (on a encore tM’ et M’ qui commutent) de sorte que les sevp de tM et de M sont les mêmes. Je fais ensuite une récurrence pour montrer que M est orthodiagonalisable et donc symétrique.

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KDY

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par KDY » 31 mai 2015 15:09

Kapoh :
SPOILER:
Montrer que toute matrice orthodiagonalisable est symétrique.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zwyx » 02 juin 2015 00:31

Je remonte :
zwyx a écrit :Soit $ \Omega $ un ouvert borné de $ \mathbb{R}^2 $ : montrer qu'il existe 2 droites orthogonales qui découpent $ \Omega $ en 4 parties de même aire.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Marrakchino » 02 juin 2015 22:20

Bonsoir,
Mines 2014 a écrit : Calculer $ \det \begin{pmatrix} 1+z_{1} & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+z_{2} & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \ddots & 1 \\ \vdots & \vdots & \cdots & 1+z_{n} \end{pmatrix} $
où \$ (z_{1}, \cdots , z_{n}) $ sont les racines, éventuellement avec multiplicités, du polynôme: $ P:=X^{n}-X-1 $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par bubulle » 02 juin 2015 22:42

zwyx a écrit :Je remonte :
zwyx a écrit :Soit $ \Omega $ un ouvert borné de $ \mathbb{R}^2 $ : montrer qu'il existe 2 droites orthogonales qui découpent $ \Omega $ en 4 parties de même aire.
SPOILER:
Pour un angle a donné, on considère l'ensemble des droites qui forment cet angle avec l'axe des abscisses. Parmi celles ci, on considère l'ensemble de celles qui divisent l'aire de $ \Omega $ en 2. On choisit alors celle qui contient le plus petit des $ kM(a)=(ksin(a),-kcos(a)) $ et on note $ k(a) $ cette valeur.
On montre ensuite que k est continue sur $ [0,\pi/2] $ (cela repose sur le fait que, si $ \Omega \subset B_o(0,r) $ alors le point d'intersection de deux droites précedemments définies est dans cette même boule).
En faisant le même raisonnement pour $ a+\pi/2 $ on obtient une nouvelle droite, et on note $ N(a) $ le point d'intersection entre cette droite et celle d'angle a.
De la même manière, on montre que N est continue.
Seulement ces deux droites coupent $ \Omega $ en 4 régions d'aire $ f(a)=(x(a),A/2-x(a),x(a),A/2-x(a)) $. où $ x(a) \in [0,A/2] $ et A l'aire de $ \Omega $.
Le fait que N est continue et$ \Omega $ borné implique que f est continue.
Or, $ f(a+\pi/2)=(A/2-x(a),x(a),A/2-x(a),x(a)) $ et donc x passe forcément par A/4.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par cssforever » 02 juin 2015 23:46

un exercice d'arithmétique:
Soit p un entier supérieur ou égal à 3
S:{a entier tel que a et (a+1) sont premiers avec p}
Montrer que le produit des éléments de S sont 1 modulo (p)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nietzscha » 03 juin 2015 00:50

Combien y a-t-il de lois * tq (Z,*) soit un groupe?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par bubulle » 03 juin 2015 02:33

cssforever a écrit :un exercice d'arithmétique:
Soit p un entier supérieur ou égal à 3
S:{a entier tel que a et (a+1) sont premiers avec p}
Montrer que le produit des éléments de S sont 1 modulo (p)
SPOILER:
On se place dans Z/pZ.
Si ab=1 et (a+1)c=1 alors :
Naturellement ba=1 et (b+1)ac=(ba+a)c=(a+1)c=1 et donc b et b+1 sont premiers avec p.
Et donc la fonction f qui à a associe b est une bijection de S dans S avec f(a)=a seulement pour a=1 (-1 n'est pas dans S).
Si on construit un ensemble E tel que S est l'union disjointe de E, f(E) et {1} alors prod(S) = prod(E)prod(f(E))=1 (on obtient, en détaillant, un produit de 1).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mikihisa » 07 juin 2015 23:14

Pour tout $ n\geq 2 $ et pour tout $ x\in [-1;1] $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} [(1-x\cos (\frac{(2i-1)}{2n}\pi))(\frac{\cos (n\arccos (x))}{n(x-\cos (\frac{2i-1}{2n}\pi))})^2] = 1 $
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$ (\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = \scriptstyle(-1)^{\scriptscriptstyle \epsilon(p)\epsilon(q)} $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zwyx » 08 juin 2015 00:30

On a dit "sympas" :mrgreen:
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