Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » 05 août 2018 18:57

On écrit pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\displaystyle \cos^{3}(x)=\frac{1}{8}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^{3}=\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{4}\cos(x).$
En considérant la série de Tg, pour $n\geq 2$ : $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos(2n\frac{\pi}{3})}{\ln(n)}$ est convergente et donne le contre-exemple!

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » 05 août 2018 19:13

Le caractère réel de la suite est rarement un frein à trouver des contre-exemples!
Vu qu'il existe des contre-exemples avec des suites complexes (pensez aux racines de l'unité!), la partie réelle ou la partie imaginaire de la série donne le contre-exemple (à vrai dire, on ne sait pas laquelle mais dans l'exemple précédent on a juste montré qu'en fait les deux séries sont en réalité divergentes!).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 05 août 2018 19:18

@BobbyJoe qu'est ce que vous pensez de l'exercice , sur le cas général ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par BobbyJoe » 05 août 2018 19:53

Qu'il existe une série convergente dont une puissance (entière fixée) du terme général donne une série divergente... Mais bof, comme exo :(
Il nettement plus amusant de construire une suite complexe $\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}$ (qui n'est pas la suite nulle) telle que pour $k \in \mathbb{N}^{*},$ $\displaystyle \sum\limits_{n\geq0} a_{n}^{k}=0$ (bien entendu une telle suite ne peut pas former une série AC! On peut même dire mieux!).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 05 août 2018 20:54

oty20 a écrit :
03 août 2018 16:47
parce que les séries c'est la vie :
Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ telle que pour toute suite réelle $ (u_{n}) $ , $ \sum f(u_{n}) $ converge si et seulement si $ \sum u_{n} $ converge, que dire de $ f $ ?


je faisais référence à celui la.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 05 août 2018 21:12

Vous voulez un indice pour montrer qu'une fonction qui vérifie cette propriété est linéaire sur un voisinage de zéro?
SPOILER:
L'idée est de passer par la contraposée. Soit f non linéaire dans un voisinage de zéro, alors pour tout $ k $ appartenant à $ \mathbb{N} $, il existe $ a_k $et $ b_k $ dans $ \mathbb{R}^d $ tels que
  • $ \lVert a_k\rVert\leq 2^{-k} $, $ \lVert b_k\rVert\leq 2^{-k} $, $ \lVert a_k+b_k\rVert\leq 2^{-k} $.
  • $ \eta_k\colon=\lVert f(a_k+b_k)-f(a_k)-f(b_k)\rVert>0 $.
L'idée est alors de choisir de prendre pour suite $ u $
$$
u_{3n}=a_k \quad\text{ si $M_k\leq n<M_{k+1}$}\\
u_{3n+1}=b_k\quad\text{ si $M_k\leq n<M_{k+1}$}\\
u_{3n+2}=-(a_k+b_k)\quad\text{ si $M_k\leq n<M_{k+1}$}\\
$$
où $M$ est une suite à valeurs dans $ \mathbb{N} $, strictement croissante à choisir (laissée en exo pour le lecteur).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 05 août 2018 23:22

je me demandais surtout si @Bobbyjoe avait réfléchi au problème.
Magnifique @matmeca_mcf1 vous l'avez résolu en si peu de temps c'est stupéfiant, voici une proposition de solution:
SPOILER:
l'idée est de montrer que : $ \frac{f(x)}{x}=\frac{f(-y)}{-y} $ pour $ x,y $ positifs suffisamment petits.

pour cela on va construire une suite $ (s^{xy}) $ de sorte à faire apparaître la quantité $ f(x)y+f(-y)x $ et montrer quelle devrait s'annulait pour de faibles valeurs de $ x~~,et~~y $.

Nous allons construire $ (s^{xy}) $ de manière récursive comme suit :

pour $ k\geq 1 $ ,$ s_{k}=-y $ si $ \sum_{j=1}^{k-1} s_{j} \geq y $ , $ s_{k}=x $ sinon.

Explication : on part de $ s_{1}=x $ , on pose $ m=E(\frac{x}{y}) $ alors $ my \leq x < (m+1)y $ pour chaque apparition de $ x $ il y a $ m $ apparition de $ y $ avant la prochaine apparition de $ x $.
Donc $ s_{1}+...+s_{N}=q(-y)+p(x) $ avec $ p+q=N $ et $ q=pm $ donc $ p=\frac{N}{1+m} $ donc le nombre d'apparition de $ x $ est de l'ordre de $ \frac{y}{x+y} N $, celui de $ -y $ est $ \frac{x}{x+y}N $.

La somme partiel de la suite ainsi défini reste entre $ 0 $ et $ x+y $ , tandis que $ \sum_{k} f(s_{k}^{xy}) $ fait apparaître la quantité souhaité.


Si $ f(x)y+f(-y)x >0 $ alors $ \sum_{k} f(s_{k}^{xy})=+\infty $ en particulier on dipose de $ N(x,y) $ de sorte que : $ \sum_{k=1}^{N(x,y)} f(s_{k}^{xy}) > 1 $.

Supposons que $ f(x)y+f(-y)x >0 $ pour une infinité de couples $ (x,y) $ proches de 0.
pour tout $ t \in \mathbb{N}^{*} $ choisissons $ (x_{t},y_{t}) $ tels que $ 0< x_{t},y_{t} < 2^{-t} $ , on définit $ (u_{n}) $ comme étant les concaténation des $ N(x_{t},y_{t}) $ premiers termes de $ (s^{x_{t}y_{t}}) $
$ t\in \{1,2,.... $ , d’après le précédent paragraphe $ \sum u_{n} $ converge tandis que $ \sum f(u_{n}) $ diverge.

le cas $ f(x)y+f(-y)x < 0 $ se traite de façon symétrique , Il en découle que : $ f(x)y+f(-y)x=0 $ au voisinage de zéro ce qui permet de conclure .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 05 août 2018 23:56

Je ne l'ai pas résolu si vite que cela. On l'avait posé à quelqu'un à un oral d'Ulm en 1999. Il en a parlé à un autre candidat et quand je suis sorti de mon oral de la salle d'à côté, ce dernier m'a raconté l'exo. Je ne me rappelle plus combien de temps il m'avait fallu pour trouver la solution. Probablement une journée. Je ne l'aurais pas résolu le temps d'un oral.
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Message par oty20 » 06 août 2018 00:04

Il est retombé en 2017
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par certus » 22 août 2018 22:49

A dattier est ce que z=r.exp(it) puis on écrit DSE de f et permute intégrale et sygma
marche ?

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