Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » 30 janv. 2019 09:48

Bah, ça montre que je suis complètement en déphasage avec le programme actuel des des classes prépas ; il faut dire que mon dernier séjour en classes prépas remonte à 50 ans (côté élève). Mais même quand je faisais cours en amphi de 1er cyle (il y a moins longtemps, même si ça date !) j'enseignais Borel-Lebesgue sur un segment (avec la démonstration), par contre je ne parlais pas du théorème d'approximation de Weierstrass (même sans démonstration).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 30 janv. 2019 10:27

Nabuco a écrit :
30 janv. 2019 00:56
Aussi le niveau demandé dépasse amplement le cadre de la terminale...
Bah oui, mais le niveau des exercices proposés ici dépasse amplement le cadre de la MP*. Pas nécessairement quand ils sont détaillés sous formes de questions intermédiaires faisables (et non pas faciles) comme l'exercice de GaBuZoMeu que je citais ; mais les exos à la Dattier sont, pour la plupart, carrément infaisables tels quels, c'est-à-dire dans les conditions d'un écrit ou d'un oral de concours, par une écrasante majorité des élèves (y compris, bien sûr, parmi ceux admis à l'X ou dans une ENS).

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 30 janv. 2019 15:33

Quelques fois il me semble que vos dattes reposent surtout sur des astuces plus que sur de la réflexion, surtout que cette astuce provient souvent d'un contexte plus général, c'est comme quand on visualise un paysage, si on est au sein de ce paysage on a du mal à en cerner toute l'étendue et la forme, alors que quand on le voit de loin en hauteur, on le cerne bien. L'astuce vient d"une vision de loin en hauteur, alors qu'un élève n'est que sur un coin de la surface.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 01 févr. 2019 15:27

Je ne suis certainement pas le mieux qualifié pour répondre. Pour la plupart de tes questions, je dirais que la réponse est clairement non en MP. Surtout celles qui sont formulées de manière ouverte (ceci démultiplie la difficulté). Même dans une très bonne MP*, je ne m'y risquerais pas sauf avec des élèves vraiment brillants et, bien sûr, en accompagnant la réflexion. En bref, je suis d'accord avec V@J.

Certaines questions peuvent toutefois être reformulées et découpées pour en faire des exercices formateurs (ce qui reste l'objectif des colles), par exemple celle-ci qui brasse pas mal de notions sur les espaces euclidiens.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Siméon » 01 févr. 2019 18:04

Ce serait dommage, je trouve que ce sont souvent de bonnes énigmes si on a un peu de temps devant soi. Je t'ai juste répondu sur la question « proposables comme colles en MP ».

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zede » 01 févr. 2019 18:44

Dattier a écrit :
01 févr. 2019 18:28
Merci, mais le fil que j'avais ouvert à cet effet a été fermé, et celui-ci n'est pas adapté (ces énigmes ne sont pas de niveau MP*), sauf si la modération ne voit aucun problème à ce que je continue à les proposer sur ce fil (Exos sympas MP(*)).
Ce serait tellement mieux de ré-ouvrir le bon sujet.

C'est bien d'avoir fait ce petit point sur le niveau des énigmes, non-averti, en MP, * ou pas, on pourrait prendre peur. :)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par zede » 02 févr. 2019 12:06

Merci JeanN !

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » 14 févr. 2019 09:39

Un exercice difficile :
Soit E un C-ev de dimension finie, u dans L(E),
Montrer qu'il existe un endomorphisme cyclique commutant avec u!
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Syl20 » 14 févr. 2019 12:21

Mathoss a écrit :
14 févr. 2019 09:39
Un exercice difficile :
Soit E un C-ev de dimension finie, u dans L(E),
Montrer qu'il existe un endomorphisme cyclique commutant avec u!
Intéressant ! Une proposition assez longue mais dans l'esprit des exos de MP* ( on regarde pour les endomorphismes simples et on généralise) :
SPOILER:
On utilise l'endomorphisme $ d $ défini sur une base $ B=(e_1,...,e_n) $par $ d(e_i)=i e_i $ Cet endomorphisme diagonal est aussi cyclique, puisque pour $ x=\sum e_i $, on a $ det(x,d(x),...,d^{n-1}(x))\neq 0 $ (c'est un déterminant de Vandermonde).
Ensuite, on traite le cas u diagonalisable. Si on note notre base de diagonalisation $ B=(e_1,...,e_n) $ et qu'on prend l'endomorphisme d associé, on a bien du=ud (vrai pour la base donc vrai pour tout vecteur). On dit que d est l'endomorphisme cyclique associé à u
Il faut maintenant généraliser à des endomorphismes non diagonalisables. On peut montrer que tout endomorphisme de Mn(C) est limite d'une suite d'endomorphimes diagonalisables (exercice très classique). On prend donc $ (u_k)_k $ une suite d'endomorphimes diagonalisables tels que $ u_k \to u $, et $ d_k $ l'endomorphisme cyclique associé à $ u_k $. Si on note $ A=\{v, Sp(v)=\{1,2,...,n\}\} $, on peut montrer que A est un compact. Or, pour tout k, $ d_k \in A $, donc on peut trouver une extractrice $ \phi $ et un endomorphisme appartenant à A, donc cyclique, c tel que $ d_{\phi(k)} \to c $. Donc $ d_{\phi(k)}u_{\phi(k)}=u_{\phi(k)}d_{\phi(k)} $, et on conclut par passage à la limite uc=cu avec c cyclique.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » 14 févr. 2019 12:54

Je ne suis pas convaincu par ton argument de compacité !
A n'est pas compact puisque c'est la classe de similitude de Diag(1,...,n) qui n'est pas bornée ! (La classe de similitude d'une matrice est bornée ssi elle est scalaire!)

C'est dommage puisque c'était super :D
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