Non c'est faux, 1/1-x est la série géométrique, donc une suite constante égale à 1. 1/ln(n) est négligeable devant 1 donc l'équivalent doit etre négligeable devant 1/1-x (exercice abordable)Mathoss a écrit : ↑27 févr. 2019 21:08Déjà, par une comparaison série intégrale, somme des 1/ln(k) pour k=2 à n ~ intégrale de 2 à n de 1/ln(t)
Ensuite, intégrale de 1/ln(t) = [t/ln(t)] + intégrale de 1/ln(t)^2
Par comparaison, intégrale de 1/ln(t)^2 = o(n/ln(n))
D'où un équivalent de la somme partielle déjà
Ensuite, 1/(1-x) * Somme des x^n / ln(n) = somme des x^n * [somme sur k=2 à n des 1/ln(k)]
Il est alors classique que lorsque x->1-, somme des x^n *[somme sur k=2 à n des 1/ln(k)] ~ somme des n/ln(n) * x^n
Enfin, on remarque, en notant f la somme de la série entière qu'on étudie initialement, que somme des n*x^n / ln(n) ~ f'(x)
On a donc : f'(x)/f(x) ~ 1/1-x
D'où, par intégration des relations de comparaison, ln(f(x))~-ln(1-x) donc: f(x)~ 1/1-x
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
2015/2016 MPSI Jean Perrin
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Re: Exos sympas MP(*)
Je vous testais simplementartslidd a écrit : ↑28 févr. 2019 08:25Non c'est faux, 1/1-x est la série géométrique, donc une suite constante égale à 1. 1/ln(n) est négligeable devant 1 donc l'équivalent doit etre négligeable devant 1/1-x (exercice abordable)Mathoss a écrit : ↑27 févr. 2019 21:08Déjà, par une comparaison série intégrale, somme des 1/ln(k) pour k=2 à n ~ intégrale de 2 à n de 1/ln(t)
Ensuite, intégrale de 1/ln(t) = [t/ln(t)] + intégrale de 1/ln(t)^2
Par comparaison, intégrale de 1/ln(t)^2 = o(n/ln(n))
D'où un équivalent de la somme partielle déjà
Ensuite, 1/(1-x) * Somme des x^n / ln(n) = somme des x^n * [somme sur k=2 à n des 1/ln(k)]
Il est alors classique que lorsque x->1-, somme des x^n *[somme sur k=2 à n des 1/ln(k)] ~ somme des n/ln(n) * x^n
Enfin, on remarque, en notant f la somme de la série entière qu'on étudie initialement, que somme des n*x^n / ln(n) ~ f'(x)
On a donc : f'(x)/f(x) ~ 1/1-x
D'où, par intégration des relations de comparaison, ln(f(x))~-ln(1-x) donc: f(x)~ 1/1-x
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2017-2018 MPSI Condorcet
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2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
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Re: Exos sympas MP(*)
Je n'ai pas la réponse, j'avais raisonné de la même manière lorsque j'avais tenté de le résoudre. Il est tout de même assez subtil.
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Re: Exos sympas MP(*)
Je pronostique 1/((x-1)*ln(1-x)).
Pour démontrer ceci, effectuer une comparaison série intégrale (la fonction qui va bien est décroissante) puis dans l'intégrale, effectuer le changement de variable u=-t*ln(x) et ensuite ça se passe à peu près bien avec une convergence dominée pour conclure.
Pour démontrer ceci, effectuer une comparaison série intégrale (la fonction qui va bien est décroissante) puis dans l'intégrale, effectuer le changement de variable u=-t*ln(x) et ensuite ça se passe à peu près bien avec une convergence dominée pour conclure.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $
Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $
Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]
Re: Exos sympas MP(*)
Je pars sur la présence ou non de cycle dans la suite de rademacher, mais autant cycle => nombre fini de zéro est facile, autant le sens inverse est plus difficile
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Re: Exos sympas MP(*)
Il est pas faux le sens inverse ?
Si on prend 1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,... (deux 1 puis un -1, trois 1 puis un -1, quatre 1 puis un -1,...), on a un nombre fini de zéros (aucun même, ça donne quelque chose de strictement positif sur [0,1[), mais pas de cycle dans la suite des +-1.
Ou j'ai mal compris le problème ?
Si on prend 1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,... (deux 1 puis un -1, trois 1 puis un -1, quatre 1 puis un -1,...), on a un nombre fini de zéros (aucun même, ça donne quelque chose de strictement positif sur [0,1[), mais pas de cycle dans la suite des +-1.
Ou j'ai mal compris le problème ?
Re: Exos sympas MP(*)
Presque sûrement* , ce qui veut dire que l'événement "f admet un nombre fini de zéros" est négligeable : on ne peut absolument pas prendre un évènement comme tu l'as fait (qui est clairement négligeable)
Re: Exos sympas MP(*)
Oui je sais, je répondais à artslidd qui semblait vouloir montrer que cycle <=> nombre fini de zéros, qui pour le coup est un problème déterministe.
Re: Exos sympas MP(*)
Au temps pour moi !
(Pour info c'est un exo d'Ulm et je ne connais personne ayant la réponse...)
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