Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 05 mars 2019 18:56

Dattier a écrit :
05 mars 2019 18:02
oty20 a écrit :
05 mars 2019 15:49
vous avez lu la preuve de pco ?
dSP vient de nous informer, qu'il existe un contre-exemple.

Deplus dans la preuve il fait un raisonnement par l'absurde, dont l'hypothése de départ est que les 2 courbes ne se coupent pas et il en déduit qu'il existe un point fixe commun aux 2 fonctions, je n'ai pas l'impression que cela nous avance beaucoup pour notre problème.

Si pour toi oui, tu peux me dire en quoi ?
Tu as raison : Oty s'est trompé dans l'interprétation du raisonnement proposé sur AOPS.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 05 mars 2019 20:37

oui effectivement, je m'excuse j'ai des problèmes de connexions au forum quand je suis sur le campus je ne sais pas pourquoi, je n'ai pas vu apparaitre le post de professeur @dsp, ni lu la solution de pco, je me suis contenté de voir $ f(b)=g(b)=b $ :lol:, en lisant maintenant cela ne marche effectivement pas, comme vous l'avez décrit.

Voici un exo d'ens lyon :

Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ bornée,

$ \exists A > 0 ,~~ \forall (x,t) \in \mathbb{R}^{2}:~~ |f(x+t)+f(x-t)-2f(x)| \leq A |t|. $

Montrer que :

$ \exists C > 0, \forall \delta \in ]0,\frac{1}{2}], \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} $ tel que si $ |x-y| \leq \delta $ Alors :

$ |f(x)-f(y)| \leq C \delta \ln(\frac{1}{\delta}) $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par NiN » 05 mars 2019 21:18

Cet article donne un contre-exemple (plutôt sophistiqué …) au problème du point fixe, avec quelques éléments historiques intéressants .

https://pdfs.semanticscholar.org/1650/e ... a9e187.pdf

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par l'XenY » 07 mars 2019 13:26

Soit f une fonction continue de R dans R , localement constante sur le complémentaire dans R d'un fermé dénombrable. Montrer que f est constante.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Mathoss » 07 mars 2019 14:50

Déjà,
On notera F le fermé dénombrable de R en question.
Étant dénombrable, E\F est connexe par arcs (exo classique). Ainsi, f est localement constante sur E\F qui est un ouvert connexe par arcs
On prend a dans f(E\F).
f étant localement constante sur E\F, f-1({a}) est ouvert. De plus, f-1({a}) est fermé comme image réciproque continue d'un fermé.
Ainsi, f-1({a}) est R tout entier puisque c'est une partie ouverte et fermée.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Chronoxx » 07 mars 2019 14:52

@l'XenY
?
SPOILER:
Un fermé $F$ dénombrable de $\mathbb{R}$ s'écrit sous la forme $F= \{ f_p, ... , f_{-1}, f_0, f_1, ... , f_q\}$ avec $...< f_{-1} < f_0 < f_1 < ...$ et $p,q\in\mathbb{Z}\cup\{ \pm \infty\}$.
Alors $\overline{F}$ est une union d'intervalles ouverts i.e $\overline{F} = \displaystyle\bigcup_{i = p}^{q-1} ]f_{i}, f_{i+1}[$.
$f$ est localement constante sur chacun de ces intevalles donc elle est constante sur chaque intervalle $]f_{i}, f_{i+1}[$. Disons $\forall x\in\overline{F}, f(x) = k$.
Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\forall i \in [| p,q |],\displaystyle\lim_{x\rightarrow f_i} f(x) = k = f_{f_i}$.
Donc $f$ est contante.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » 07 mars 2019 14:59

Chronoxx a écrit :
07 mars 2019 14:52
@l'XenY
?
SPOILER:
Un fermé $F$ dénombrable de $\mathbb{R}$ s'écrit sous la forme $F= \{ f_p, ... , f_{-1}, f_0, f_1, ... , f_q\}$ avec $...< f_{-1} < f_0 < f_1 < ...$ et $p,q\in\mathbb{Z}\cup\{ \pm \infty\}$.
Alors $\overline{F}$ est une union d'intervalles ouverts i.e $\overline{F} = \displaystyle\bigcup_{i = p}^{q-1} ]f_{i}, f_{i+1}[$.
$f$ est localement constante sur chacun de ces intevalles donc elle est constante sur chaque intervalle $]f_{i}, f_{i+1}[$. Disons $\forall x\in\overline{F}, f(x) = k$.
Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\forall i \in [| p,q |],\displaystyle\lim_{x\rightarrow f_i} f(x) = k = f_{f_i}$.
Donc $f$ est contante.
Un fermé dénombrable n a aucune raison d être sous cette forme. Typiquement prend F composé de 0 1 et les +- 1/2^n et les 1+-1/2^n pour n dans N

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » 07 mars 2019 15:02

Mathoss a écrit :
07 mars 2019 14:50
Déjà,
On notera F le fermé dénombrable de R en question.
Étant dénombrable, E\F est connexe par arcs (exo classique). Ainsi, f est localement constante sur E\F qui est un ouvert connexe par arcs
On prend a dans f(E\F).
f étant localement constante sur E\F, f-1({a}) est ouvert. De plus, f-1({a}) est fermé comme image réciproque continue d'un fermé.
Ainsi, f-1({a}) est R tout entier puisque c'est une partie ouverte et fermée.
Qui est E ici ? Si c est R ce n est absolument pas connexe par arcs.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 07 mars 2019 15:11

C'est beaucoup plus compliqué. On a facilement que $ \mathbb{R}\setminus F $ est un ouvert de $ \mathbb{R} $ et donc une union dénombrable d'intervalles disjoints, ie, $$ \mathbb{R}\setminus F=\bigcup_{i=1}^{+\infty}I_i $$ où les $ I_i $ sont des intervalles disjoints. Comme $ f $ est localement constante sur $ \mathbb{R}\setminus F $, $ f $ est constante sur chaque intervalle $ I_i $.

Mais le plus dur reste à faire. On souhaite utiliser la continuité de $ f $ sur $ \mathbb{R} $. Mais on ne peut pas l'utiliser facilement si $ F $ est compliqué.

Que fait-on dans les cas suivants ?
$$
F=\{0\}\cup\bigcup_{k=1}^{+\infty}\left\{\frac{1}{k}\right\}.
$$
ou si
$$
F=\{0\}\cup\bigcup_{k=1}^{+\infty}\left(\left\{\frac{1}{k}\right\}\cup\bigcup_{\ell=k+1}^{+\infty}\left\{\frac{1}{k}+\frac{1}{\ell^2}\right\}\right).
$$
et on peut rendre $ F $ encore plus compliqué.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Syl20 » 07 mars 2019 15:16

Il me semble que la conclusion reste la même si on suppose notre ensemble de départ $ F $ est uniquement dénombrable et non pas fermé et dénombrable : on pourra réfléchir au cas $ F=\mathbb{Q} $ par exemple.
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