Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Nabuco » 07 mars 2019 15:37

Syl20 a écrit :
07 mars 2019 15:16
Il me semble que la conclusion reste la même si on suppose notre ensemble de départ $ F $ est uniquement dénombrable et non pas fermé et dénombrable : on pourra réfléchir au cas $ F=\mathbb{Q} $ par exemple.
Montrer que l un implique l autre n est pas très dur en effet si f est continue sur R et localement constante sur le complémentaire d un ensemble au plus dénombrable A l ensemble des points sur lequel f est localement constante est ouvert et contient A car si f est constante sur un intervalle ouvert intersecté avec A elle est constante sur l intervalle ouvert tout court. On a donc f localement constante sur un ouvert de complémentaire au plus dénombrable

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 07 mars 2019 16:17

l'XenY a écrit :
07 mars 2019 13:26
Soit f une fonction continue de R dans R , localement constante sur le complémentaire dans R d'un fermé dénombrable. Montrer que f est constante.
Voici deux indices. Ensemble, ils donnent la solution. Ce sera plus facile de résoudre à partir de seulement l'indice 1. L'indice 2, pris seul, apparaîtra comme très cryptique.

Indice 1:
SPOILER:
Montrez que l'image de $ \mathbb{R} $ par $ f $, noté $ f(\mathbb{R}) $ est de cardinal au plus dénombrable.
Indice 2
SPOILER:
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par l'XenY » 07 mars 2019 16:23

C'est bien ça en effet

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par TheWorld » 07 mars 2019 22:48

Un exercice un peu plus exotique
Montrer qu'il existe n entier naturel tel que l'écriture décimale de 2^n commence par 7
"C'est pas la prepa qui fait l'élève" dirent-ils sans vergogne

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par l'XenY » 08 mars 2019 02:48

On peut en rajouter autant que l'on veut je crois

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par muirhead » 08 mars 2019 09:54

Bonjour, je suis en TS.
Un exo sympa qui m'a été posé : s'il n'a pas sa place ici, faites-le moi savoir.
Déterminer les entiers $k$ premiers avec tous les termes de la suite $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zrun » 08 mars 2019 16:48

Dattier a écrit :
07 mars 2019 23:33
A peine plus exotique :
Existe-t-il $n$ entier tel que $2^n$ commence par un $777$ ?
Pourquoi prendre 777 et pas un entier quelconque m ?
Cependant, l’exo est intéressant. Je ne propose pas une solution détaillée , seulement les grandes idées ...
On note $ \theta = log_{10}(2) $. En utilisant la décomposition en facteurs premiers , on montre que $ \theta $ est irrationnel par l’absurde.
Ensuite, on montre que la suite $ |n\theta| $ est dense dans $ [0,1] $où $ || $ désigne la partie fractionnaire .
En écrivant m sous forme scientifique, par exemple 777=7,77x100, on peut alors conclure facilement en choisissant un n convenable assez grand
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par burgerking » 08 mars 2019 16:52

Bonjour,
Un exo que j’ai eu en colle :
On se place dans R^2 et on appelle longueur d’un arc g C1, si elle existe, l’intégrale de la norme de g' sur [0,1]. On appelle longueur d'un arc C0 si elle existe, le sup des longueurs des lignes brisées coincidant en n points (n variable) avec l'arc. On la note L(g). On admet que les deux définitions coincident sur les arcs C1.
On considère une application f qui va de A=(arcs du plans C0 de longueur finie) vers B=(variables aléatoires à valeurs naturelles) telle qu’il existe C>0, pour tout segment s du plan, E(f(s))=CL(s)
Montrer que pour tout g dans A, E(f(g))=CL(g)
Modifié en dernier par burgerking le 08 mars 2019 17:55, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par GaBuZoMeu » 08 mars 2019 17:35

Bonjour,
N'est-ce pas plutôt l'intégrale de la norme de $ g' $ ? Et la dernière égalité, n'est-ce pas $ C\,L(g) $ plutôt que $ C\,L(s) $ ?
Enfin, on ne demande vraiment rien à $ f $ à part la propriété pour les segments ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par burgerking » 08 mars 2019 17:53

Oui aux deux questions désolé pour les coquilles.
Et oui, aucune hypothèse n'est faite sur f.

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