Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
ØļivierŏđÐ

Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 20 mars 2012 21:02

Il s'agit :
*d'une part de montrer la différentiabilité. Je pense que le caractère $ C^{\infty} $ permet de conclure assez facilement
*de calculer la différentielle ce qui est bien le but du sujet

En outre je signalais juste l'existence d'un sujet en rapport avec l'exercice rien de plus

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par compol » 20 mars 2012 21:07

Que peut-on dire d'un groupe dont le groupe des automorphismes est réduit à l'identité?
SPOILER:
En fait j'ai réussi à montrer que ses éléments sont tous d'ordre au plus 2. (Donc il est abélien, et s'il est fini son cardinal est une puissance de 2). Mais je me demande si on peut faire mieux...

artofmaths

Re: Exos sympas MP(*)

Message par artofmaths » 20 mars 2012 22:17

[quote="ØļivierŏđÐ"]Il s'agit :
*d'une part de montrer la différentiabilité. Je pense que le caractère $ C^{\infty} $ permet de conclure assez facilement
*de calculer la différentielle ce qui est bien le but du sujet

Comment montres-tu que l'exponentielle matricielle est $ C^{\infty} $ ? Parce qu'à ma connaissance, il n'y a pas de démonstration accessible en MP.
Déjà pour montrer qu'elle est $ C^1 $, ce n'est pas évident. Pour ceux que ça intéresse, on peut aller jeter un coup d'oeil dans "Petit guide de calcul différentiel" (F. Rouvières) exercice 39.
Pour le calcul de la différentielle, ce n'est pas très compliqué en $ 0 $ mais c'est nettement plus difficile pour la différentielle en $ M\neq 0 $.

ØļivierŏđÐ

Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 20 mars 2012 22:34

En considérant une série entière à n² variables ça devrait marcher non ?


Ou alors on considère l'application qui à une matrice associe son couple (matrice diagonalisable,matrice nilpotente) dans la décomposition de dunford($ C^{\infty} $ ).
On montre facilement que l'exponentielle est $ C^{\infty} $ sur l'ensemble des matrices nilpotentes(application polynômiale en ces matrices).
Pour les matrices diagonalisable il faudrait trouver une astuce. Si je trouve je fais signe.

artofmaths

Re: Exos sympas MP(*)

Message par artofmaths » 20 mars 2012 22:48

Je ne suis pas très au point avec le programme de MP/MP* mais comment pourrait-on démontrer qu' "une série entière de $ n^2 $ variables" est dérivable ?

Sinon, celui qui est intéressé par le problème pourra consulter "Introduction aux variétés différentielles" de Jacques Lafontaine...

(Juste par curiosité, y a-t-il au programme la dérivabilité des fonctions d'une variable complexe ?)

Gyptone

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Gyptone » 20 mars 2012 22:48

ØļivierŏđÐ a écrit :En considérant une série entière à n² variables ça devrait marcher non ?


Ou alors on considère l'application qui à une matrice associe son couple (matrice diagonalisable,matrice nilpotente) dans la décomposition de dunford($ C^{\infty} $ ).
On montre facilement que l'exponentielle est $ C^{\infty} $ sur l'ensemble des matrices nilpotentes(application polynômiale en ces matrices).
Pour les matrices diagonalisable il faudrait trouver une astuce. Si je trouve je fais signe.
Tu surestime tes capacités :) T’enflamme pas :lol:

artofmaths

Re: Exos sympas MP(*)

Message par artofmaths » 20 mars 2012 22:53

[quote="ØļivierŏđÐ"]
Ou alors on considère l'application qui à une matrice associe son couple (matrice diagonalisable,matrice nilpotente) dans la décomposition de dunford($ C^{\infty} $ ).

Que penses-tu de la suite de matrices $ (M_k) $ telle que $ M_k=\begin{bmatrix}
\frac{1}{k} & 1 \\
0 & \frac{1}{k+1}
\end{bmatrix} $ pour tout $ k\geq 1 $ ? Décomposition de Dunford de $ M_k $ ? de la limite $ M $ ?

free_man

Re: Exos sympas MP(*)

Message par free_man » 20 mars 2012 22:54

Si on pouvait étendre la notion d'analyticité aux fonctions à arguments matriciels alors on dirait exp(A) est somme d'une
serie entiere donc somme de sa serie de taylor au voisinage de chaque point (ça n'a rien d'évident déjà sur un ouvert de C
et fait appel à la sommabilité et l'associativité alors sur les matrices...) donc exp(A) est analytique donc $ C^{\infty} $ Bref je retourne coder.

ØļivierŏđÐ

Re: Exos sympas MP(*)

Message par ØļivierŏđÐ » 20 mars 2012 23:02

artofmaths a écrit :Que penses-tu de la suite de matrices $ (M_k) $ telle que $ M_k=\begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 1 \\ 0 & \frac{1}{k+1} \end{bmatrix} $ pour tout $ k\geq 1 $ ? Décomposition de Dunford de $ M_k $ ? de la limite M ?
$ M_k=\begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & \frac{1}{k+1} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $


$ M=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $


EDIT : Ah non elles ne commutent pas pour M_k
Dernière modification par ØļivierŏđÐ le 20 mars 2012 23:05, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par optimath » 20 mars 2012 23:02

Voici un petit problème issu de l'optimisation convexe, accessible niveau MP (éventuellement comme petit entraînement) :
Dans toute la suite, $ E $ désignera l'espace euclidien $ \mathbb{R}^{n} $, $ n \geq 1 $ muni du produit scalaire usuel. $ \mathcal{C} $ est un sous ensemble non vide convexe et fermé de $ E $.
$ f $ est une fonction convexe de $ \mathcal{C} $ dans $ \mathbb{R} $.

Partie I .


I.1) Montrer que si $ y $ est un point non intérieur à $ \mathcal{C} $ alors il existe $ a \in E $ tel que $ (a\,|\,y) < inf_{x \in \mathcal{C}} \,\,(a\,|\,x) $

I.2) Soit maintenant $ z $ un point appartenant à la frontière de $ \mathcal{C} $. En utilisant le résultat de la question (1), montrer qu'il existe $ a \in E $ et un hyperplan $ H_z = \{x \in E\, /\, (a\,|\,z-x) = 0 \} $ tel que pour tout $ x \in \mathcal{C},\,\,(a\,|\,z) < (a\,|\,x) $. Interpréter géométriquement ce résultat en terme de position de $ \mathcal{C} $ par rapport à $ H $.

Dans la suite, on dira qu'un élément $ x $ de $ \mathcal{C} $ est extrême s'il n'existe pas $ x_1,\,x_2 \in \mathcal{C} $ tels que $ x_1 \neq x_2 $ et $ x = \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 $ avec $ \lambda \in ]0,1[ $.

I.3) Montrer que tout élément extrême de $ H_{z} \cap \mathcal{C} $ est un élément extrême de $ \mathcal{C} $

I.4) En déduire que si $ \mathcal{C} $ est supposé borné inférieurement alors il contient au moins un élément extrême (Ind : on pourra raisonner par récurrence).

I.5) Montrer que si $ \mathcal{C} $ est borné alors tout élément de $ \mathcal{C} $ peut s'exprimer comme combinaison convexe d’éléments extrêmes de $ \mathcal{C} $.

Partie II


II.1) Montrer que l'ensemble $ M $ des points où $ f $ atteint son minimum est convexe (on conviendra que l'ensemble vide est convexe). Montrer de plus que tout minimum local de $ f $ en est un minimum global.

II.2) En déduire que si $ f $ admet deux minima (globaux) alors $ f $ admet une infinité de minima.

II.3) Montrer que si $ \mathcal{C} $ est borné inférieurement et que $ f $ a un maximum sur $ \mathcal{C} $ alors il est atteint en un point extrême de $ \mathcal{C} $.
Dernière modification par optimath le 25 mars 2012 18:14, modifié 6 fois.

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