Exos sympas MP(*)

[Madec]

C'est dans les années 60 non ?

Le travail du groupe Bourbaki a commencé avant les années 60 .
Par contre son influence sur l'enseignement général en lycée date effectivement des années 60 (plutôt la fin des années 60 d'ailleurs) c'est ce qu'on a appelé l'introduction des Maths Moderne avec tout le formalisme qui allait avec et en particulier l'introduction très tôt des structures .
Par exemple Je me souviens en 6 ième avoir eu l'introduction des relations d'équivalence sur un ensemble et l'ensemble quotient .
Autant dire qu'après le CM2 où l'on travaillait à calculer le temps pour vider des baignoires et faire croiser des trains , cela décoiffait un peu ...

[Thaalos]

Beaucoup même.

[colis]

Soit $ \displaystyle (\Gamma_n) $ le graphe de la fonction $ \displaystyle f_n : x \mapsto \cos^n(x) $. Soit $ \displaystyle d_n=d(O,\Gamma_n) $. Trouver un équivalent simple de $ \displaystyle d_n $.

QCM (au choix)

a°) $ e^{-\frac{1}{2}}(1+\frac{e+\frac{1}{2}}{2n}) $ ou b°) $ \frac{180}{\pi}\sqrt{\frac{2}{n}} $ Laquelle est la plus proche du résultat ?

Maple me donne la première valeur a°) (la limite de d_n n'est même pas 0 alors ! ). En bidouillant j'obtiens b°) qui est plus cohérent (d_n semble tendre vers 0 après quelques tracés de courbes, puis on voit que 180 et $ \pi $ apparaissent et bizarrement 180 °= $ \pi $ rad )

Méthode: $ d_n^2 $ est le min de $ g_n(x)=x^2 + cos^{2n}(x) $ puis on étudie cette fonction...

A l'aide guigui !, comment as-tu fait ? En quoi l'exo est-il "zolie" (tout ce que j'ai fait est très moche, même si je sais que c'est complètement faux )???

[V@J]

Bonjour.
En étudiant $ g_n $, je trouve $ d_n \approx \sqrt{\frac{\ln(n)}{n}} $.

Voici une approche pas trop rigoureuse, mais que l'on pourrait rendre rigoureuse en s'en donnant les moyens :
En effet, $ g_n(x)=x^2 + \cos^{2n}(x) $ donc $ g_n'(x)=2x + -2n \sin(x) \cos^{2n-1}(x) $. Quand $ n \to \infty $, $ g_n'(\frac{2}{n}) < 0 $, donc on peut se restreindre à étudier $ g_n $ sur $ [0,\frac{2}{n}] $.
Notamment, $ sin(x) \approx x $, donc $ g_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x)^{2n-1} \approx \frac{1}{n} \Leftrightarrow ... $
$ ... \Leftrightarrow (2n-1) \ln(\cos(x)) \approx -\ln(n) \Leftrightarrow -n x^2 \approx -\ln(n) \Leftrightarrow ... $
$ ... \Leftrightarrow x^2 \approx x_n^2 = \frac{\ln(n)}{n} $.
Donc $ d_n^2 = \min g_n(\mathbb{R}) \approx g_n(x_n) = x_n^2+\cos(x\n)^{2n} \approx \frac{\ln(n)}{n}+\frac{1}{n} \approx \frac{\ln(n)}{n} $.
D'où le résultat.

Bon, après, étant donné le manque de rigueur dont j'ai fait preuve, je ne garantis rien, hein... (surtout si quelqu'un me montre que je me suis trompé !)

Edit : coquille corrigée

[-guigui-]

Re,

colis > ma méthode est celle de V@J, donc bien joué V@J !!!

Et j'ai trouvé l'exercice joli parce qu'à partir d'une constatation géométrique simple on peut en tirer un calcul d'analyse.

[colis]

V@J: Bravo, c'est vraisemblablement correct à la bonne écriture près $ \sqrt{\frac{ln(n)}{n}} $.
J'ai fait la même chose que V@J mais à un moment, j'ai refait confiance à Maple dans mon expression b°) (j'ai vu mon erreur).

[-guigui-]

Ah Maple le fourbe

( juste pour préciser, mais ce n'est qu'une coquille dans le post de V@J : on a $ \displaystyle d_n\sim\sqrt{\frac{\ell n(n)}{n}} $ (le n est sous la racine aussi) )

Merci à vous deux d'avoir cherché

[V@J]

Autre exo beaucoup plus facile que le premier que j'ai posté :

Montrer que les sous-anneaux unitaires de $ \mathbb{Q} $ sont de la forme $ \mathbb{Z}[F] $ avec $ F \subseteq \{\frac{1}{p} | \ p \ premier\} $.

[colis]

Ah, j'avais pas pensé utiliser le fait les sous anneaux de $ \mathbb{Q} $ sont les $ \mathbb{Z}[F] $ pour résoudre ton premier exo. Merci pour l'indication.

[-guigui-]

colis > trop tard j'ai vu ce que tu attends comme petit cadeau ^^ Deux exos sur les séries, le premier assez simple, le deuxième un brin plus ardu, mais vous allez les torcher!

Soit $ \displaystyle p_n $ le nombre de chiffres dans l'écriture de l'entier $ \displaystyle n $ en base $ \displaystyle 10 $.
Nature et somme éventuelle de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge1}\frac{p_n}{n(n+1)} $

Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $

En plus c'est des classiques.

Sinon, des exos de MP que je ne saurais pas résoudre (mais je dispose des solutions ..)

On note $ \displaystyle p(n) $ le plus grand diviseur premier de $ n $.

Montrer que la série $ \displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{1}{np(n)} $ converge.

On considère la suite $ \displaystyle (\lambda_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ croissante des racines réelles positives de l'équation $ \displaystyle \tan(x)=x $.

Montrer que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}}=\frac{1}{10} $