Exos sympas MP(*)

[Shindara]

Parce que multiplier une matrice par $ \lambda $ multiplie les valeurs propres par $ \lambda $, donc sinon $ M $ et $ \lambda M $ ont peu de chances d'être semblables...

@Thaalos : Certes, mais il n'y a pas que les matrices nilpotentes qui ont une trace nulle. Autant directement raisonner sur les valeurs propres, c'est plus fort, même si pas encore équivalent à la similitude.

[colis]

même si pas encore équivalent à la similitude.

Mais suffisant pour trouver ne serait ce qu'un seul contrexemple, ce dont on a besoin ici.

[Shindara]

Mais suffisant pour trouver ne serait ce qu'un seul contrexemple, ce dont on a besoin ici.

Oui, oui, je m'amuse juste à faire des petits rappels, pour ceux que ça pourrait aider

Allez, un exo qui ne fait pas spécialement réviser le cours, mais qui fait appel à votre imagination.
On se place dans $ M_{n}(R) $. Quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes ?

[colis]

On se place dans M_{n}(R). Quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes

Les matrices de trace nulle (avant de fournir une preuve correcte... j'y travaille).

[-guigui-]

Un exo du genre, qui se résout bien en utilisant la densité de $ \displaystyle \mathcal{GL}_n(\mathbb{C}) $ dans $ \displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ :

Soit $ \displaystyle n\in\mathbb{N}^* $. Existe-t-il une norme sur $ \displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ telle que :
$ \displaystyle \forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;\forall P\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{C})\;\;\;\;||P^{-1}AP||=||A|| $ ?

Donc je propose pour l'exo de colis : ça n'existe que si n=1 et c'est la valeur absolue.

[koala (h4pc*)]

Mais suffisant pour trouver ne serait ce qu'un seul contrexemple, ce dont on a besoin ici.

Oui, oui, je m'amuse juste à faire des petits rappels, pour ceux que ça pourrait aider

Allez, un exo qui ne fait pas spécialement réviser le cours, mais qui fait appel à votre imagination.
On se place dans $ M_{n}(R) $. Quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes ?

un hyperplan? (celui des matrices de trace nulle)
edit: grillé
dans mes souvenirs on prouve facilement que toute matrice de Mn(K) est la somme de tr(M)In et d'une matrice nilpotente (par exemple en passant dans Mn(C) et en étudiant M-tr(M)In)?

(edit: résultat donné faux et complètement idiot, voir plus bas)

[V@J]

on prouve facilement que toute matrice de Mn(K) est la somme de tr(M)In et d'une matrice nilpotente

Dans le cas $ M = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{C}) $, j'aimerais bien trouver les matrice nilpotente et diagonale dont tu parles.

[colis]

On se place dans M_{n}(R). Quel est l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes ?

N'appelons pas ce qui suit une preuve, car j'utilise un autre résultat (que je sais démontrer) !

Un exercice classique consiste à montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle. Découpant cette matrice sous la forme TrSup + TrInf par la manière naturelle de le faire, on a même mieux: Toute matrice de trace nulle est la somme d'au plus deux matrices nilpotentes !

[koala (h4pc*)]

on prouve facilement que toute matrice de Mn(K) est la somme de tr(M)In et d'une matrice nilpotente

Dans le cas $ M = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{C}) $, j'aimerais bien trouver les matrice nilpotente et diagonale dont tu parles.

effectivement, j'ai dit n'importe quoi, donc acte (tu as quand même oublié le point d'interrogation à ma phrase)

[Shindara]

dans mes souvenirs on prouve facilement que toute matrice de Mn(K) est la somme de tr(M)In et d'une matrice nilpotente

Je ne connais pas ce résultat, mais il doit y avoir une coquille, en effet, la trace de l'identité c'est n et non 1 !

Donc je propose pour l'exo de colis : ça n'existe que si n=1 et c'est la valeur absolue.

Ou toute application strictement positivement proportionnelle à la valeur absolue. Si tu veux que ce soit en plus une norme d'algèbre, alors il faudra prendre le coefficient de proportionnalité plus grand que 1.