Exos sympas MP(*)

[koala (h4pc*)]

dans mes souvenirs on prouve facilement que toute matrice de Mn(K) est la somme de tr(M)In et d'une matrice nilpotente

Je ne connais pas ce résultat, mais il doit y avoir une coquille, en effet, la trace de l'identité c'est n et non 1 !

.

il y a effectivement une coquille, mais surtout pour la raison donnée au dessus
par contre il y a un résultat qui ressemble à ça, mais je risque pas de le retrouver vite fait (après huit mois presque sans maths)

[koala (h4pc*)]

en réfléchissant un peu le résultat juste est en fait M=tr(M)/n In + une matrice de trace nulle
(en fait l'espace des matrices de trace nulle est un hyperplan (évident), en somme directe avec CIn)
par contre ça ne sert à rien pour l'exercice et ça n'est pas particulièrement intéressant, ni même un "résultat" (mais on peut s'en servir des fois )
comme quoi la mémoire peut faire des ravages et amener à dire n'importe quoi quand on ne réfléchit pas

(je ne pouvais pas me permettre de pas y reréfléchir après la honte intersidérale que m'inspire mon premier message)

[-guigui-]

Ou toute application strictement positivement proportionnelle à la valeur absolue. Si tu veux que ce soit en plus une norme d'algèbre, alors il faudra prendre le coefficient de proportionnalité plus grand que 1.

Toutafé, j'ai eu la flemme d'éditer !

Sinon, autre résultat que j'ai trouvé zoli :

Soit $ \displaystyle \rm A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $.
$ \displaystyle\fbox{*} $ Montrer que A est nilpotente si et seulement si $ \displaystyle\rm{tr(A)=tr(A^2)=...=tr(A^n)=0} $
(facile, pour se chauffer )
$ \displaystyle\fbox{*} $ On suppose $ \displaystyle\rm{tr(A)=tr(A^2)=...=tr(A^{n-1})=0} $ et $ \displaystyle\rm{tr(A^n)\not=0} $. Montrer que $ \displaystyle\rm{A} $ est diagonalisable.

[koala (h4pc*)]

un problème intéressant peut-être de montrer que tout hyperplan de Mn(K) contient au moins une matrice inversible

[Shindara]

Heu -guigui-, je dois être fatigué, mais quel est la différence entre ton premier exo et celui de colis ?

[-guigui-]

En y réfléchissant aucune Je n'avais lu l'exercice qu'en diagonale, pardon!

[koala (h4pc*)]

bon je vous laisse, je dois retourner servir la grandeur de la France lol
cherchez mon exo précédent (si je n'ai pas encore mis n'importe quoi, il est formateur)

[Shindara]

Certains sont en perms...Ca fait plaisir de pas prendre de trains et de rester peinard chez soi ^^

[gardener]

bon je vous laisse, je dois retourner servir la grandeur de la France lol
cherchez mon exo précédent (si je n'ai pas encore mis n'importe quoi, il est formateur)

Pour ça on peut montrer que $ GL_{n}(\mathbb{C}) $ est connexe par arcs... en plus ça fait réviser le pivot..

[-guigui-]

koala > on fixe A matrice carrée non nulle, et toute forme linéaire de $ \displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ est de la forme $ \displaystyle M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\mapsto tr(AM) $. Après il suffit de trouver M inversible telle que Tr(AM)=0... On risque d'utiliser le fait que A est non nulle, et pourquoi pas des matrices élémentaires ..

Sauf ânerie