Exos sympas MP(*)

[Bezout]

Bonjour,

Soit $ A $ une matrice de taille $ n $ ( a priori pas de condition sur le corps de base $ \mathbb{R} $ ou $ \mathbb{C}) $ vérifiant:
$ \mathrm{det}(A)=\displaystyle ( \frac{\mathrm{Tr}(A {}^tA)}{2})^{\frac{n}{2}. $
Montrer que $ A $ a au plus deux sous-espace propres.

Une indication svp ? Marrakchino ?

[JeanN]

Le résultat est vrai sur R (remplacer det(A) par $ \sqrt{ det(A {}^t A)} $ pour homogénéiser...
Il est faux sur C (prendre la matrice A de taille 3*3 diagonale avec i, 1 et 0 sur la diagonale)

[ticotanar]

Exercice de marrakchino

SPOILER:

Posons M=tA*A
M est symétrique réelle positive, toutes ses vp sont donc réelles positives.
det(M)=det(A)^2=(tr(M)/2)^n

Soit $ \lambda _1 ...\lambda _p $ les vps disjointes de M comptées avec multiplicité $ m _1 ...m _p $
$ 2^{n}\prod_{1}^{p} \lambda _i^{m_i}=( \sum_{1}^{p}m_i\lambda_i)^{n} $
(on a pris soin de classer les vps par ordre croissant)
si p>2
on peut déjà remarquer que si $ \lambda _1=0 $ l’égalité est fausse donc exceptons ce cas
$ ( \sum_{1}^{p}m_i\lambda_i)^{n}>( \sum_{p-1}^{p}m_i\lambda_i)^{n} $
cette dernière somme contient 2^n termes de valeur $ \geq \prod_{1}^{p} \lambda _i^{m_i} $ Absurde !

[Magnéthorax]

Bonjour Marrakchino,

pour approfondir un peu les fonctions caractéristiques, si ça vous intéresse, j'ai proposé un exercice p.381 où on démontre qu'elles peuvent servir à établir la "convergence en loi" de suites de va (c'est-à-dire la convergence que l'on rencontre au sein du programme dans le résultat d'approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale).

[MSman]

Décrire tous les morphismes de groupe de $ (Gl_n (\mathbb C),\times) $ dans $ (\mathbb C^*,\times) $

[Magnéthorax]

Trouver tous les morphismes de groupe de $ (Gl_n (\mathbb C),\times) $ dans $ (\mathbb C^*,\times) $

Tous ? Ou bien seulement ceux qui sont continus ?

[MSman]

Tous.
Indication donnée : on pourra commencer par les morphismes continus
Autre indication donnée : pour le cas général, on ne cherchera surtout pas à décrire les morphismes non continus de $ (\mathbb C^*,\times) $ dans $ (\mathbb C^*,\times) $
Exo posé l'année dernière à ULM
P-S : J'ai modifié le trouver de l'intitulé par décrire.
Je ne connais de cet exo que l'énoncé, pas la solution, je le pose par curiosité.

[Magnéthorax]

Indication :

SPOILER:

Soit $ n\geq 2 $. Tout élément $ A $ de $ GL_n (\mathbb{C}) $ se décompose sous la forme $ A=T_1 ... T_p D $ où les $ T_i $ sont des matrices de transvection et $ D $ est la matrice diagonale $ (1,\ldots,1,\mathrm{det} A) $.

[Ali_J]

Indication :

SPOILER:

Soit $ n\geq 2 $. Tout élément $ A $ de $ GL_n (\mathbb{C}) $ se décompose sous la forme $ A=T_1 ... T_p D $ où les $ T_i $ sont des matrices de transvection et $ D $ est la matrice diagonale $ (1,\ldots,1,\mathrm{det} A) $.

Pouvez vous expliquer d'où vient ce résultat ?

[JeanN]

Essaye de faire apparaitre 1 en haut à gauche de A uniquement par transvection pour commencer...