Exos sympas MP(*)

[JeanN]

Ben une dissert... C'est à mon avis aussi ridicule de se plaindre du sujet de philo du concours de l'ens que du sujet du bac de maths de 2014.

[The TJFK]

Le bac de S 2014 était troddur

https://www.youtube.com/watch?v=_aIGHeForHY

[Uky]

Bonjour,

$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})

CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $

[ingens]

Bonjour,

un petit exo d'algèbre assez classique me semble-t-il mais pas pour autant inutile, histoire de se consoler après la semaine analyse :

Soit K un corps commutatif. Soit G un sous groupe fini de $ (K-\{0\},\times) $. Montrer que G est cyclique.

Allez un peu d'algèbre linéaire :

Soit E un C-ev de dimension finie n et $ f\in \mathcal{L}(E) $. On suppose que $ \forall\text{ } 1\le p \le n\text{ }Tr(f^p) = 0 $. Montrer que f est nilpotente.

[The TJFK]

Bonjour,

$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})

CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $

Cet exo est très très dur, ne tentez pas de le résoudre si vous n'êtes pas au point sur la réduction.

Edit: en fait non, j'ai confondu avec IR.

[Uky]

Bonjour,

$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})

CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $

Cet exo est très très dur, ne tentez pas de le résoudre si vous n'êtes pas au point sur la réduction.

Edit: en fait non, j'ai confondu avec IR.

Tu spoiles la suite de l'exercice !

[Magnéthorax]

Bonjour,

pour voir si on a bien compris ce qui se passe avec la démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass :

On note $ \mathcal{C}_0 (\mathbb{R}_+) $ l'espace vectoriel réel des fonctions réelles continues sur $ \mathbb{R}_+ $ qui tendent vers $ 0 $ en $ +\infty $. On note $ \mathcal{P} $ le sous-espace vectoriel des fonctions de la forme $ x\mapsto p(x)\mathrm{e}^{-x} $ où $ p $ est une fonction polynôme.

Démontrez que $ \mathcal{P} $ est une partie dense de $ \mathcal{C}_0 (\mathbb{R}_+) $ muni de la norme de la borne supérieure.

Indication :

SPOILER:

Passer de Bernoulli à Poisson.

Remarque : tout comme Weierstrass, on peut démontrer ce résultat sans faire appel aux probabilités. Mais là, le but est justement d'y faire appel.

[Madec]

Bonjour,

$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})

CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $

SPOILER:

comme on est sur C on peut simplifier en considérant des matrices triangulaires.
Ensuite quelques calculs "laborieux" semblent montrer qu'une CNS serait que A ne puisse avoir 0 comme valeur propre qu'à un ordre au plus 1.

[Mikihisa]

Soit K un corps commutatif. Soit G un sous groupe fini de $ (K^*,\times) $. Montrer que G est cyclique.

SPOILER:

Notons $ n = |G| $. Soit $ E=\{n\in\mathbb{N} | x^n = 1, \forall x\in G\} $. $ E $ est non vide car contient $ n $, il possède donc un plus petit élément, notons le $ d $. Si $ d< n $, on a $ x^d = 1, \ \forall x\in G $ soit donc $ n $ racines distincts pour le polynôme $ X^d - 1 $ dans K ce qui est absurde. Donc $ d = n $ et G est cyclique.

[Yaeghs]

Soit E un C-ev de dimension finie n et $ f\in \mathcal{L}(E) $. On suppose que $ \forall\text{ } 1\le p \le n\text{ }Tr(f^p) = 0 $. Montrer que f est nilpotente.

SPOILER:

On sait qu'il existe une base $ (e_1, ..., e_n) $ de $ E $ telle que la matrice de $ f $ dans cette base soit triangulaire, et si on note $ \lambda_1, ..., \lambda_n $ les n valeurs propres de $ f $, alors :
$ \forall p \in [\![1,n]\!], \sum_{i=0}^n \lambda_i^p = 0 $
Donc forcément (sic, en fait, je n'arrive pas à trouver un argument imparable pour dire que cela marche forcément, ce qui est agaçant, et l'une des méthodes serait sinon de faire une récurrence sur n), pour tout $ i $, $ \lambda_i = 0 $. Donc $ f $ est trigonalisable de seule valeur propre 0, donc est nilpotente.

J'en ai un petit que je trouve très joli (que vous devez certainement connaître) :

Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{C}^* $ de classe $ \mathcal{C}^1 $, $ 2\pi $-périodique. Montrer que :

$ d(f) = \frac{1}{2i\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f'(\theta)}{f(\theta)} d\theta \in \mathbb{Z} $

Indication :

SPOILER:

Penser aux racines n-ièmes de l'unité !

D'ailleurs, j'ai une question sur un vieil exercice, qui a été posé dans les premières pages de ce topic, c'était : Soit $ (\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}} $ la suite croissante des solutions positives de tan(x) = x. Montrer que :
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\lambda_n^2} = \frac{1}{10} $

L'un de vous saurait comment faire ? Car il est facile de montrer que : $ \lambda_n \sim n\pi $ donc la série converge mais la somme ...