Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Ben une dissert... C'est à mon avis aussi ridicule de se plaindre du sujet de philo du concours de l'ens que du sujet du bac de maths de 2014.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})
CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $
$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})
CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
un petit exo d'algèbre assez classique me semble-t-il mais pas pour autant inutile, histoire de se consoler après la semaine analyse :
Soit K un corps commutatif. Soit G un sous groupe fini de $ (K-\{0\},\times) $. Montrer que G est cyclique.
Allez un peu d'algèbre linéaire :
Soit E un C-ev de dimension finie n et $ f\in \mathcal{L}(E) $. On suppose que $ \forall\text{ } 1\le p \le n\text{ }Tr(f^p) = 0 $. Montrer que f est nilpotente.
un petit exo d'algèbre assez classique me semble-t-il mais pas pour autant inutile, histoire de se consoler après la semaine analyse :
Soit K un corps commutatif. Soit G un sous groupe fini de $ (K-\{0\},\times) $. Montrer que G est cyclique.
Allez un peu d'algèbre linéaire :
Soit E un C-ev de dimension finie n et $ f\in \mathcal{L}(E) $. On suppose que $ \forall\text{ } 1\le p \le n\text{ }Tr(f^p) = 0 $. Montrer que f est nilpotente.
Dernière modification par ingens le 21 avr. 2015 16:40, modifié 1 fois.
Re: Exos sympas MP(*)
Cet exo est très très dur, ne tentez pas de le résoudre si vous n'êtes pas au point sur la réduction.Uky a écrit :Bonjour,
$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})
CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $
Edit: en fait non, j'ai confondu avec IR.
Re: Exos sympas MP(*)
Tu spoiles la suite de l'exercice !The TJFK a écrit :Cet exo est très très dur, ne tentez pas de le résoudre si vous n'êtes pas au point sur la réduction.Uky a écrit :Bonjour,
$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})
CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $
Edit: en fait non, j'ai confondu avec IR.
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
pour voir si on a bien compris ce qui se passe avec la démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass :
On note $ \mathcal{C}_0 (\mathbb{R}_+) $ l'espace vectoriel réel des fonctions réelles continues sur $ \mathbb{R}_+ $ qui tendent vers $ 0 $ en $ +\infty $. On note $ \mathcal{P} $ le sous-espace vectoriel des fonctions de la forme $ x\mapsto p(x)\mathrm{e}^{-x} $ où $ p $ est une fonction polynôme.
Démontrez que $ \mathcal{P} $ est une partie dense de $ \mathcal{C}_0 (\mathbb{R}_+) $ muni de la norme de la borne supérieure.
Indication :
Remarque : tout comme Weierstrass, on peut démontrer ce résultat sans faire appel aux probabilités. Mais là, le but est justement d'y faire appel.
pour voir si on a bien compris ce qui se passe avec la démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass :
On note $ \mathcal{C}_0 (\mathbb{R}_+) $ l'espace vectoriel réel des fonctions réelles continues sur $ \mathbb{R}_+ $ qui tendent vers $ 0 $ en $ +\infty $. On note $ \mathcal{P} $ le sous-espace vectoriel des fonctions de la forme $ x\mapsto p(x)\mathrm{e}^{-x} $ où $ p $ est une fonction polynôme.
Démontrez que $ \mathcal{P} $ est une partie dense de $ \mathcal{C}_0 (\mathbb{R}_+) $ muni de la norme de la borne supérieure.
Indication :
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
Uky a écrit :Bonjour,
$ Soit A \in M_{3}(\mathbb{C})
CNS pour qu'il existe B \in M_{3}(\mathbb{C}) ~tq~ B^{3} = A ~~~ ? $
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
ingens a écrit :Soit K un corps commutatif. Soit G un sous groupe fini de $ (K^*,\times) $. Montrer que G est cyclique.
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
ingens a écrit : Soit E un C-ev de dimension finie n et $ f\in \mathcal{L}(E) $. On suppose que $ \forall\text{ } 1\le p \le n\text{ }Tr(f^p) = 0 $. Montrer que f est nilpotente.
SPOILER:
Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{C}^* $ de classe $ \mathcal{C}^1 $, $ 2\pi $-périodique. Montrer que :
$ d(f) = \frac{1}{2i\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f'(\theta)}{f(\theta)} d\theta \in \mathbb{Z} $
Indication :
SPOILER:
D'ailleurs, j'ai une question sur un vieil exercice, qui a été posé dans les premières pages de ce topic, c'était : Soit $ (\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}} $ la suite croissante des solutions positives de tan(x) = x. Montrer que :
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\lambda_n^2} = \frac{1}{10} $
L'un de vous saurait comment faire ? Car il est facile de montrer que : $ \lambda_n \sim n\pi $ donc la série converge mais la somme ...